7. キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則は、電気回路の法則の一つで、回路中の電流と電圧の関係を表す法則である。キルヒホッフの法則は、回路内の任意の閉ループに沿って、電流と電圧の総和がゼロになるという法則である。具体的には、回路内のある点において、その点に流入する電流の総和は、その点から流出する電流の総和に等しくなる（KCL）。また、同様に回路内のある閉ループに沿って、電圧の総和もゼロになる（KVL）。

キルヒホッフの第１法則（Kirchhoff's Current Law、KCL）

KCLは、ある点に流入する電流と、その点から流出する電流の総和が等しいことを表す。つまり、任意の交差点や接続点において、電流の保存則が成り立つことを示す。

キルヒホッフの第２法則（Kirchhoff's Voltage Law、KVL）

KVLは、電気回路における基本的な法則の一つで、ある閉ループに沿って周回するとき、そのループに沿って電位をたどった時、電圧の総和がゼロになることを表す。

KCL、KVLによる回路解析

KCLより、C点において\(I_1\)は流入、\(I_2,I_3\)は流出なので、$$I_1 = I_2 + I_3$$である。

KVLより、A点から緑線の閉回路について、$$0 + E_1 -R_1I_1 -R_2I_2 = 0$$ となる。このとき、緑線に沿って、各素子に記した「－」から「＋」のときには\(+\)（加算）で、「＋」から「－」のときには\(-\)（減算）で式をたてる。
KVLより、B点から赤線の閉回路について、$$0 + R_2 I_2 - R_3 I_3 -E_2 =0$$となる。式を整理すると、$$I_1 -I_2 - I_3 = 0 \\ R_1 I_1 + R_2 I_2 = E_1 \\ R_2 I_2 - R_3 I_3 = E_2$$の連立方程式となる。求めたい未知数\(I_1, I_2, I_3\)にたいして、方程式が３つなのでこれを解けば、各電流\(I_1, I_2, I_3\)が求まることになる。連立方程式を行列で表すと$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\R_1 & R_2 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ E_1 \\ E_2 \end{bmatrix}$$ となり、$$\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\R_1 & R_2 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ E_1 \\ E_2 \end{bmatrix}$$と\(I_1, I_2, I_3\)が求まる。これは、電卓やプログラムで簡単に解を得ることができることを示している。
また、求めた電流\(I_1, I_2, I_3\)より、抵抗\(R_1,R_2,R_3\)における電圧降下は、\(V_1=R_1I_1 \;\;, \;\;V_2=R_2I_2 \;\;, \;\;V_3=R_3I_3 \)と求まる。以上により、この回路の解析が完了する。

キルヒホッフの法則による回路解析の具体例

KCLより、C点において、流入電流（５A）、流出電流（２A , \( I_1 \) ）なので $$ 5\; A = 2 \; A + I_1 $$ よって、$$ I_1 = 3 \; A$$ KVLより、
緑線のループについて、A点を基準として、$$ E_1 - R_b \times 5 - R_a \times 5 - R_1 \times 3 = 0 \\ 100 - 2\times 5 - 3 \times 5 -R_1 \times 3 = 0 $$よって、$$R_1 = 25 \; \Omega $$ 赤線のループについて、B点を基準として、$$R_1 \times 3 - R_2 \times 2 - E_2 = 0 \\ R_1 \times 3 - R_2 \times 2 = 15 $$ よって、$$ R_2 = 30 \; \Omega$$ このように、KCL、KVLを使うことによって、回路網を解析できる。

※実際の回路では、非常に複雑な場合が多いので、式も多次元の連立方程式となる。このため、実践的にはコンピュータによるシミュレーションツールの活用やプログラムの作成が重要となる。