29. インピーダンスとアドミタンス

複素インピーダンス

図「直流回路と交流回路」の直流回路では、オームの法則により、電圧\(V\;[V]\)、電流\(I\;[A]\)、抵抗\(R \;[\Omega]\)の間に$$R = \frac{V}{I} \; [\Omega]$$の関係が成立し、抵抗は電流の流れを妨げる。
一方、交流回路では、回路の電流を妨げる働きは負荷で、その素子には抵抗、インダクタ（コイル）、キャパシタ（コンデンサ）がある。
交流回路の図において、交流起電力\(e = E_m \sin \omega t \;[V]\)を負荷に加えると、交流電流\(i \; [A]\)が流れて、負荷の両端に電圧降下\(v \; [V]\)が生じる。この電圧\(v\)は、交流起電力\(e\)に等しく、\(e \;[V] = v \;[V]\)であり、実効値で表すと、\(E\;[V] = V \;[V]\)である。
電圧、電流の実効値\(V \;[V] ,I \;[A]\)とインピーダンス\(Z\;[\Omega]\)との間には、$$Z=\frac{V}{I} \;[\Omega]$$の関係がある。また、複素数の絶対値（大きさ）に交流の実効値を用いて、\(v, \;i\)を複素数表示した\(\dot{V} \;[V], \; \dot{I}\;[A]\)を、$$\dot{V} = Ve^{j\omega t} \; [V] \\ \dot{I} = Ie^{j \omega t} \; [A]$$とする。従って、\(\dot{V}\)と\(\dot{I}\)の間には、$$\frac{\dot{V}}{\dot{I}} = \frac{Ve^{j \omega t}}{Ie^{j (\omega t - \theta)}} = \frac{Ve^{j\omega t - j(\omega t -\theta)}}{I} = \frac{V}{I} e^{j \theta} = Z e^{j \theta}\; \cdots\cdots (1)$$の関係がある。ここで、\(Z=\frac{V}{I}\)である。 式\((1)\)をオイラーの公式を使って直交座標系で表すと、$$\dot{Z} = \frac{\dot{V}}{\dot{I}} = Z e^{j \theta} =Z (\cos \theta + j \sin \theta) = R + j X \; [\Omega]$$となり、複素インピーダンス、または、単にインピーダンスという。実部 \(\mathrm{Re}\{\dot{Z}\}=R = Z \cos \theta\)が抵抗分で、虚部 \(\mathrm{Im}\{\dot{Z}\} =X = Z \sin \theta\)がリアクタンス分である。
また、\(Z\)をインピーダンスの絶対値または大きさといい、\(\theta\)をインピーダンス角または力率角という。\(\dot{Z}\)を用いれば、電圧、電流はそれぞれ、$$\dot{V} = \dot{Z} \dot{I} \;[V] \\ \dot{I} = \frac{\dot{V}}{\dot{Z}} \;[A]$$と表せる。

アドミタンス

並列回路の計算は直列回路に比べると複雑になるが、インピーダンスの逆数を並列回路の計算に用いると直列回路におけるインピーダンスと同様の形式が得られる。インピーダンス\(Z\)の逆数を$$Y = \frac{1}{Z} =\frac{I}{E} \;[S]$$と定め、アドミタンスと呼ぶ。単位は\([S]\)、ジーメンスである。
また、抵抗\(R \; [\Omega]\)の逆数を$$G = \frac{1}{R} \; [S]$$と定め、コンダクタンスと呼ぶ。リアクタンス\(X \;[\Omega]\)の逆数を$$B = \frac{1}{X} \; [S]$$と定め、サセプタンスと呼ぶ。
さらに、誘導性リアクタンス\(X_L = \omega L \;[\Omega]\)、容量性リアクタンス\(X_C = \frac{1}{\omega C} \;[\Omega]\)の逆数をそれぞれ誘導性サセプタンス（\(B_L = \frac{1}{X_L} = \frac{1}{\omega L} \; [S]\)）、容量性サセプタンス（\(B_C = \frac{1}{X_C} = \omega C\;[S]\)）と呼ぶ。

インピーダンス、アドミタンスの使用例