7. 平均、分散、標準偏差、確率分布

母集団とは、分析の対象となる全ての要素の集合を指す。例えば、ある製品の製造数の全数などが母集団にあたる。

標本とは、母集団の一部をランダムに選択した、代表的な部分集合のことを指す。標本は、母集団全体を検査することが困難な場合に、その一部を検査することで母集団全体についての情報を得ることができる。例えば、ある製品の製造全数を検査することは困難であるが、ランダムに選んだ100個の製品を検査することで、その製品の全数についての状態を推定することができる。

標本を用いた統計的分析や推定は、母集団全体を検査するよりもコストが低く、時間が短く済む。しかし、標本を選ぶ方法や標本の大きさなどによって、推定結果に偏りが生じる可能性がある。

測定値の母集団を\(x_1,x_2,\cdots,x_N\)とすると、母集団の平均値\(\mu\)は、$$\mu = \frac{1}{N}\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_N \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \;\;\;\; (N \gg n)$$

標本分散\(\sigma^2\) とは、データの散らばり具合を表す指標の1つで、標本の各データとその平均値との偏差を2乗し、それらの平均値を求めたものである。また、標本標準偏差\(\sigma\) は、標本分散の正の平方根であり、標本のデータの散らばり具合を表す指標の1つである。$$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2$$　$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2 }$$

ガウス分布とは、連続型の確率分布の一種で、正規分布とも呼ばれる。一般的には、連続的な実数値のデータが平均値を中心に正規分布に従うことが多く、多くの統計学的手法や自然科学の現象において、ガウス分布は広く使われている。
ガウス分布の確率密度関数 \(f(x)\)は、$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right\}$$ である。\(\mu\)は平均値、\(\sigma\)は標準偏差を表す。この式からわかるように、ガウス分布は平均値を中心に左右対称の釣鐘型の形状をしており、標準偏差が小さくなるほどピークが高く、標準偏差が大きくなるほどピークが低く広がっていく。

標準正規分布で平均値\(\mu\) からのずれが \(\pm 1 \sigma\) 以下の範囲に\(x\)が含まれる確率は \(68.27\%\)、\(\pm 2\sigma\)以下だと\(95.45\%\)、\(\pm 3\sigma\)以下だと\(99.73\%\)となる。
また、変曲点は\(１\sigma\)（標準偏差 \(\sigma\)）となる。

参考

＊標準正規分布の全確率
ガウス積分の公式を使って、以下のように計算できる。
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)dx \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\= 1 \;\;\;\;\; \left( \frac{x}{\sqrt{2}} =t と置換\right)$$

＊標準正規分布の期待値（平均）
$$ \frac{d}{dt} e^{-\frac{x^2}{2}} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$$の関係を使って以下のように計算できる。
$$\int_{- \infty}^{\infty} xf(x)dx = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{- \frac{x^2}{2}}dx \\ =- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[e^{- \frac{x^2}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty} = 0$$