6. 測定値の統計的扱い

測定の正確さ

有効数字、有効桁数

＊測定値や測定値を使った計算で得られた値は、末位に誤差を含みながら、測定値として意味をもつ桁だけを表示したものが有効数字である。

【例】最小目盛りが１mmの定規
この定規で長さをはかったとき、端が12mmと13mmのちょうど真ん中にかかったとする。 このとき長さを12mmまたは13mmとするより12.5mmとする方が実際の長さに近くなる。この測定結果「12.5mm」は、末位の「5」に誤差を含みながらも測定値として有効な桁だけを表示した有効数字といえる。

誤差の伝搬

誤差の伝搬が起こる原因

測定結果を得るのに、測量や計測を行うが測定値をそのまま使うことはまれで、測定値から計算処理することによって測定結果を導く。また測量、計測には計測器の精度や計測器の設定や調整において、様々な誤差が含まれる。
従って、たくさんの測定値を用いる場合には、測定値がどの程度の精度なのか把握しておく必要がある。
測定値の取り扱い、特に測定結果を得る計算処理の過程で誤差の伝搬が起こる。測定値を計算処理する際には、計測器の限界や精度、環境条件の影響、計算処理における数値表現の誤差や近似誤差などが原因として誤差の伝搬を引き起こす。
具体的には、以下のような原因にまとめられる。

・計測器の限界や精度： 計測器には、読み取り誤差や精度の限界などの誤差がある。例えば、測定器の目盛りが1mmの場合でも、目盛りの間に微小な間隔があるため、測定値は必ずしも正確ではない。このような測定器の誤差が、測定値に含まれ、計算処理を行うことで誤差が伝搬していく。
・環境条件の影響： 測定を行う場所や時間によって、測定値に影響を与える環境条件が異なる。例えば、温度や湿度、気圧などの変化は、測定値に誤差を引き起こす可能性がある。また、測定対象の変形や振動、磁場の影響なども測定値に影響を与えることがある。これらの環境条件の影響が、測定値に含まれ、計算処理を行うことで誤差が伝搬する。
・計算処理の誤差： 測定値から測定結果を導く際には、測定値を基に計算処理を行うことが必要である。しかし、計算処理においても、数値表現の誤差や近似誤差などが生じ、誤差の伝搬が起こる。

これらの原因が複合して誤差の伝搬が起こる。測定値から得られた測定結果の精度を向上させるためには、測定器の選定や校正、測定環境の管理、計算処理の適切な手法の選択などが必要である。

誤差の伝搬法則

\(z = f(x,y)\)という関係があるとする。すなわち、\(z\)という測定結果が、測定値\(x,y\)から演算\(f(x,y)\)により求まるとする。
各測定値は誤差を含んでいるので、\(x_0, \;\; y_0\)を真値、\(e_x, \;\; e_y\)を誤差として、$$x = x_0 + e_x \;\;\;\; , \;\;\; y = y_0 +e_y$$と表せる。このとき、\(z_0\)を測定結果から推測される真値として$$z = z_0 \pm e_z \;\;\; , \;\;\; z_0 = f(x_0 , y_0)$$となる。演算\(f\)により伝搬した誤差は、$$e_z = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 e_x ^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 e_y ^2 } $$と表せる。これを誤差の伝搬法則という。
※精密計測を考える場合、いわゆる真値は測定値から推測される真の値ということに注意が必要である。

誤差の伝搬法則の導出

誤差の伝搬法則の適用例

問題：横の長さの測定値が　\(x = (10.0 \pm 0.3)\; cm\) で、縦の長さの測定値が　\(y = (5.0 \pm 0.2) \;cm\)の長方形の面積を誤差も含めて求める。

解答：長方形の面積は　\(z = (50.0 \pm e_z)\; cm^2 \) である。
誤差\(e_z\)は誤差の伝搬法則の式を使って、以下のように計算できる。
\(z = xy\)より、\(\frac{\partial z}{\partial x} = y \;\; , \;\; \frac{\partial z}{\partial y} = x\) なので、\(\frac{\partial z}{\partial x} = y_0 \;\; , \;\; \frac{\partial z}{\partial y} = x_0\) よって、$$e_z = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 e_x ^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 e_y ^2 } =\sqrt{ y_0^2 e_x ^2 + x_0^2 e_y ^2 } $$ $$= \sqrt{ 5.0^2 \cdot 0.3^2 + 10.0^2 \cdot 0.2^2} = 2.5\;cm^2$$となる。

誤差を含む測定値からの測定結果の計算

二つの測定値の真値を\(x_1 , x_2\)とし、計算結果（測定結果）を\(y\)とする。また、それらに含まれる誤差を\(\Delta x_1 , \Delta x_2 , \Delta y\)とする。

（１）和と差（\(y = x_1 \pm x_2\)）
\(y + \Delta y = (x_1 + \Delta x_1) \pm (x_2 + \Delta x_2) = (x_1 \pm x_2) + (\Delta x_1 \pm \Delta x_2)\)
誤差の最大値の見積りは、\(|\Delta y| \le |\Delta x_1| + |\Delta x_2|\)となるが、実際には、\(x_1 , x_2\)が独立であるとき同時に最大になる確率は小さいので、\(|\Delta y| = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2}\)
※和の誤差を小さくするには、二つの測定値の誤差を同程度に小さくしなければならない。

（２）積（\(y = x_1 x_2\)）
\(y +\Delta y = (x_1 + \Delta x_1)(x_2 +\Delta x_2) = x_1 x_2\left( 1+ \frac{\Delta x_1}{x_1} +\frac{\Delta x_2}{x_2} + \frac{\Delta x_1 \Delta x_2}{x_1 x_2} \right) \) 　第4項は小さいので無視すると誤差率は、\(\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \le \left| \frac{\Delta x_1}{x_1} \right| + \left| \frac{\Delta x_2}{x_2} \right| \)
※積の計算結果の誤差率は、各測定値の誤差率が同程度のときが効率的な測定となる。

（３）商（\(y = x_1 / x_2\)）
\( y +\Delta y = \frac{x_1 + \Delta x_1}{x_2 + \Delta x_2} =\frac{x_1}{x_2} \left(\frac{1 + \Delta x_1 / x_1}{1 + \Delta x_2 /x_2} \right) \simeq \frac{x_1}{x_2} \left( 1 + \frac{\Delta x_1}{x_1} - \frac{\Delta x_2}{x_2}\right)\)
\(\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \le \left| \frac{\Delta x_1}{x_1} \right| + \left| \frac{\Delta x_2}{x_2} \right| \)
※\(x_1\)と\(x_2\)の誤差率を同程度にすることが、効率的な測定となる。

（４）べき乗（\(y = x_1 x_2^n\)）
\(y + \Delta y = (x_1 + \Delta x_1)(x_2 +\Delta x_2)^n \\ = (x_1 + x_2)\left\{ x_2^n +n \Delta x_2 x_2^{n-1} +\frac{n(n-1)}{2!}(\Delta x_2)^2 x_2^{n-2} + \cdots \right\} \\ \simeq x_1 x_2^n \left(1 + \frac{\Delta x_1}{x_1} + n \frac{\Delta x_2}{x_2} \right)\)
\(\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \le \left| \frac{\Delta x_1}{x_1} \right| + n \left| \frac{\Delta x_2}{x_2} \right| \)
※\(x_1\)と\(x_2\)の誤差率を同程度にするには、べき乗の項は誤差率を\(1/n\)にしなければならない。

誤差を含む測定値からの測定結果の計算例

【例１】\(100 \; \Omega\)と\(10 \; \Omega\)の抵抗素子がそれぞれ25％の誤差を含む。二つの抵抗素子を直列に接続したときの、抵抗値\(R\)の誤差\(\Delta R\)を求めよ。
解答：
\(R+ \Delta R=100(1 + 0.25) + 10 (1 + 0.25) = 110+25+2.5\)
\(\Delta R = 27.5 \; \Omega\)  　　　※誤差の最大値の見積もり
\(\Delta R = \sqrt{25^2 +2.5^2 } = 25.12 \; \Omega\)　   ※誤差の見積もり値

【例２】電流\(I = 10 \; mA\)、電圧\(V = 3 \; V\) に誤差が10%含まれる。\( R=V/I\) で抵抗値を求めるとき、誤差\(\Delta R\)、誤差率\(\Delta R /R \)を求めよ。
解答：
\(\Delta R = R \left( \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta V}{V} \right) = \frac{3}{0.01} (0.1 + 0.1) = 60 \; \Omega \)
\(\frac{\Delta R}{R} = \frac{60}{300} = 0.2\)    (20%)