12. FIRディジタルフィルタ

ディジタルフィルタの基本的な種類

FIR（Finite Impulse Response） フィルタは、 有限インパルス応答フィルタ と呼ばれる。これは、ディジタルフィルタの一種で、入力信号に対して有限個の過去のデータのみを用いて出力信号を計算する。このため、有限の応答時間内に入力信号に対して有限の出力信号を生成する性質を持っている。FIRフィルタには以下の特徴がある。
・安定性：帰還ループを持たないため、常に安定した動作をする。
・高速処理：IIRフィルタに比べて処理速度が速い。
・設計の容易さ：IIRフィルタに比べて設計が容易である。

FIRフィルタは、ノイズ除去、スムージング、高周波カット、低周波カット、帯域通過など、さまざまな用途で使用される。
FIRフィルタは、インパルス応答が有限なシステムである。FIRフィルタの応答と伝達関数は、一般に以下のように表せる。$$y(n)= \sum_{k=0}^{N-1} h(k) x(n-k) \; \cdots\cdots(1)\\H(z) = \sum_{k=0}^{N-1} h(k) z^{-k} \; \cdots \cdots(2)$$
図３が式(1)を基にしたFIRフィルタの基本的な構成である。FIRフィルタの係数\(h(n)\)の値は、インパルス応答に等しい。FIRフィルタは帰還ループが無いので、安定性に問題がない。また、直線位相の設計が可能であるため、信号伝送用フィルタに適している。

直線位相FIRフィルタの周波数特性

直線位相特性は、フィルタの位相特性が周波数\(\omega\)の１次関数になっていることをいう。
【例】直線位相特性のシステム
入力信号を$$x(t) = \sin(2\omega_0 t) + \sin(3\omega_0 t)，\\ \;\;\omega_0 = 2 \pi f_0 , \;\; f_0=1$$とする。直線位相特性が\(\theta(\omega) = -0.5\omega\)のシステムに\(x(t)\)を印可した時の出力\(y(t)\)は、システムの利得を１として、$$y(t) = \sin\{2 \omega_0(t - 0.5)\} + \sin\{3 \omega_0(t - 0.5)\} \\= x(t -0.5)$$となる。図４に\(x(t)\)の波形を示す。図５に直線位相特性を示す。図６は、\(y(t)\)の波形である。システムの位相特性が\(\theta(\omega) = -0.5 \omega\)の直線位相特性なので、この場合、出力信号\(y(t)\)は入力信号\(x(t)\)に対して逆相の信号波形となるが、波形に変化は無く、波形全体の位相ずれ（時間軸で言うと平行移動）だけである。これに対して、\(3\omega_0\)成分の位相シフト量を直線位相特性から外れた\(1.2\omega_0\)とすると、出力信号\(y_1(t)\)は、$$y_1(t) =\sin\{2 \omega_0(t - 0.5)\} + \sin\{3 \omega_0(t - 0.4)\} $$となる。この場合の波形を図７に示す。このように非直線位相特性の場合、入力信号\(x(t)\)と異なった波形になってしまう。すなわち、位相歪みを生じることが分かる。
10. 離散時間システムの周波数特性で示したように、FIRフィルタの伝達関数\(H(z)\)（式(2)）で\(z \rightarrow e^{j \Omega}\)と置き換えると、$$H(\Omega) = \sum_{n=0}^{N-1} h(n) e^{- j n \Omega}$$が得られる。この式から、FIRフィルタの周波数特性は、有限インパルス応答\(h(n)\)の離散フーリエ変換によって求められることが分かる。

移動平均フィルタは、$$y(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} x(n - k) \\ = \frac{1}{N} \left\{ x(n) + x(n-1) + \cdots + x(n-N+1)\right\}$$と表せる。ここで、\(N=3\)（3点の移動平均）とすると、$$y(n) = \frac{1}{3} \left\{ x(n) + x(n-1) + x(n-2) \right\}$$なので、インパルス応答は、$$h(n) = \frac{1}{3} \left\{ \delta(n) + \delta(n-1) + \delta(n-2) \right\}$$である。従って、離散フーリエ変換は、$$H(\Omega) = \frac{1}{3} \left(1 + e^{- j \Omega} + e^{-j 2 \Omega}\right) \\ = \frac{1}{3} \frac{1 - e^{- j 3 \Omega}}{ 1 - e^{- j \Omega}} \\= \frac{1}{3} \frac{e^{- j 3 \Omega /2}( e^{j 3 \Omega /2} - e^{-j 3 \Omega/2})}{e^{ -j \Omega /2}(e^{ j \Omega /2} - e^{- j \Omega /2})} \\ = \frac{1}{3} e^{- j \Omega} \frac{\sin(3 \Omega /2)}{\sin(\Omega /2)}$$となる。
※式の変形では級数の和とオイラーの公式を使った。
よって、$$|H(\Omega)| = \frac{1}{3} \left| \frac{\sin(3 \Omega /2)}{\sin(\Omega /2)} \right| \\ \angle{H(\Omega)} = \left\{ \begin{array}{l l} - \Omega & \left(\frac{\sin(3 \Omega /2)}{\sin(\Omega /2)} > 0 \right) \\ -\Omega \pm \pi & \left(\frac{\sin(3 \Omega /2)}{\sin(\Omega /2)} < 0 \right) \end{array} \right.$$となる。
周波数特性を図８に示す。この図より、移動平均フィルタが直線位相特性のFIRのLPFであることが分かる。

Scilabスクリプト
//移動平均の周波数特性
clear; clf();
pi=%pi;
w=-pi:0.01:pi;
H=(1/3)abs(sin(3w/2)./sin(w/2));
th = atan(-(sin(w) + sin(2w)) ./ (1 + cos(w) + cos(2w)));
scf(0);plot(w,H);
scf(1);plot(w,th);