17. 状態遷移図、状態遷移表

ストップウォッチの状態遷移図を考える。仕様は以下とする。
・「スタート」「ストップ」「リセット」のボタンがある。
・「スタート」ボタンを押すと計時を開始する。
・「ストップ」ボタンを押すと計時を一時停止し、計測した時間を表示する。
・計測結果表示中に「スタート」を押すと計時を再開する。
・計測結果表示中に「リセット」を押すと計測時間をリセットする。

図３がストップウォッチの状態遷移図である。状態遷移図を作る利点は、仕様書を追いかけなくても一目で全体像が把握できる点にある。

自動販売機の状態遷移図

以下の自動販売機を考える。
・50円と100円硬貨が投入できる。
・150円以上投下されたらジュースとお釣りを出す。
図４が状態遷移図である。初期状態\(Q_0\)から、50円硬貨が投入された場合は、\(Q_{50}\)の状態に遷移する。\(Q_{50}\)の状態で50円投入された場合は、\(Q_{100}\)に遷移し、100円投入された場合は、ジュースを出して初期状態\(Q_0\)に遷移する。初期状態\(Q_0\)から、50円硬貨が投入された場合は、(Q_{100}\)の状態に遷移する。\(Q_{100}\)の状態で50円投入された場合は、ジュースを出して初期状態\(Q_0\)に遷移する。(Q_{100}\)の状態で100円投入された場合は、ジュースとお釣りを出して初期状態\(Q_0\)に遷移する。

\(Q_0\)：初期状態
\(Q_{50}\)：内部に50円ある状態
\(Q_{100}\)：内部に100円ある状態
入力／出力
入力01：50円投入
入力10：100円投入
出力10：ジュースを出す
出力01：お釣りを出す
出力11：ジュースとお釣りを出す

RS-FFの状態遷移表

表１はRS-FFの状態遷移表である。この表において、\(Q_{n+1}\)で１になる場合に着目すると以下の式が成立する。$$Q_{n+1} =\overline{Q_n} S_n \overline{R_n} + Q_n \overline{S_n} \overline{R_n} + Q_n S_n \overline{R_n} \\ = S_n \overline{R_n} (\overline{Q_n} + Q_n) + Q_n \overline{S_n} \overline{R_n} \\ = S_n \overline{R_n} + Q_n \overline{S_n} \overline{R_n}$$また、禁止に着目すると、$$R_n S_n = 0$$この式が成立するには、\(R\)または\(S\)は０でなければならないことを意味する。

JK-FFの状態遷移表

表２は図５に示すJK-FFの真理値表である。この表より、図６のJK-FFの状態遷移図が描ける。
また、状態遷移表は、表３のようになる。この表から\(Q_{n+1}\)は、以下の式で表せる。$$Q_{n+1} = \overline{J_n} \;\overline{K_n} T_n Q_n + J_n \overline{K_n}T_n \cdot 1 + J_n K_n T_n \overline{Q_n} \\+ \overline{J_n} \;\overline{K_n} \;\overline{T_n}Q_n + \overline{J_n} K_n \;\overline{T_n}Q_n \\+ J_n \overline{K_n} \;\overline{T_n}Q_n + J_n K_n \overline{T_n}Q_n$$この式を簡単化すると、$$Q_{n+1} = \overline{T_n}Q_n + \overline{K_n}Q_n + J_n T_n \overline{Q_n} \\= (\overline{T_n} + \overline{K_n})Q_n + J_n T_n \overline{Q_n}$$となる。この式はクロック\(T_n\)を含めたJK-FFの特性方程式である。ここで、\(T_n =1\)とすると、$$Q_{n+1} = \overline{K_n}Q_n + J_n \overline{Q_n}$$となり、表２の真理値表を満たすJK-FFの特性方程式となる。

JK-FFによる3進同期式カウンタ

表４が３進カウンタの状態遷移表である。\(Q^2\)は2桁目、\(Q^1\)は1桁目を意味している。表４より、$$Q_{n+1}^2 = \overline{Q_n^2} Q_n^1 = (\overline{Q^2} Q^1)_n \cdots(1)\\ Q_{n+1}^1 = \overline{Q_n^2} \;\overline{Q_n^1} = (\overline{Q^2} \;\overline{Q^1})_n \cdots (2)$$と書ける。ここで、JK-FFの特性方程式\(Q_{n+1} = \overline{K_n}Q_n + J_n \overline{Q_n}\)を使うと、2桁目は、$$Q_{n+1}^2 = (\overline{K^2}Q^2 + J^2 \overline{Q^2})_n $$なので、これと(1)式を比較し、\(K^2=1\)、\(J^2 = Q^1\)が求まる。同様に、1桁目は、$$Q_{n+1}^1 = (\overline{K^1}Q^1 + J^1\overline{Q^1})_n$$なので、これと(2)式を比較し、\(K^1=1\)、\(J^1=\overline{Q^2}\)が求まる。以上から、回路は図７のように表せる。