14. ２階線形微分方程式（微分方程式）
係数関数の基本解系による表示 式(1)の２階同次線形微分方程式の基本解系を\(\{x_1,\; x_2\}\)とする。$$x'' + p_1(t)x' + p_2(t) x = 0 \;\;\; \cdots (1)$$ […]
13. 線形微分方程式（微分方程式）
線形微分方程式とは、未知関数（通常 \(x(t)\) などで表される）とそのすべての導関数（1階、2階、またはそれ以上の階数）が線形結合された形を持つ微分方程式を指す。線形性の条件として、未知関数\(x\) およびその微 […]
12. 高階微分方程式（微分方程式）
高階微分方程式とは、微分の次数が２以上の微分方程式を指す。たとえば、３階の微分方程式は$$y^{(3)} + p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = g(x)$$のような形式となる。ここで、\(y^{(3) […]
11. １階微分方程式（微分方程式）
簡単な現象論的モデルは１階微分方程式になることが多い。１．放射性元素の崩壊放射性元素は一定の割合で崩壊するので、次の１階の微分方程式でモデル化される。$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N \;\;\; […]
10. 常微分方程式（微分方程式）
常微分方程式（Ordinary Differential Equation：ODE）は、未知の関数とその導関数を含む方程式のことである。常微分方程式は、関数の変化を記述するために使われ、しばしば時間や空間など、1つの独立 […]
9. ガンマ関数とベータ関数（微積分学）
ガンマ関数 ガンマ関数は、自然数に対して定義される階乗の概念を連続数に一般化した関数である。ガンマ関数は複素数の実部が正の領域において定義され、特に実数の範囲で広く利用される。 式(1)で\(\nu\)を\(\nu + […]
8. ローラン展開（微積分学）
正則な複素関数のテイラー展開 初等関数\(1/(1+x)\)のテイラー展開は、$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \;\;\; \cdots (1)$$である […]
7. 解析関数（微積分学）
解析関数とは、ある点の近傍で無限回微分可能であり、かつその点におけるテイラー展開がその近傍で収束するような関数のことを指す。複素変数\(z\)の関数\(w = f(z)\)が微分可能なとき、すなわち、$$\lim_{\D […]
6. テイラー展開（微積分学）
ある区間で連続な関数は、その区間において\(C^0\)級であるという。同様に、ある区間で\(n\)回微分可能で\(n\)階導関数が連続な関数は、その区間で\(C^n\)級であるという。何回も微分可能ならば\(C^{\in […]
5. 積分（微積分学）
積分の定義は、微分の逆演算と関数のグラフをヒストグラムの極限と見た時の面積という２つの面がある。※微小量、微分の記法などについては、 4. 微分（微積分学）を参照願います。 微分の逆演算としての積分 \(F(x)\)の導 […]
4. 微分（微積分学）
微分法 ニュートンは、瞬間における速度や加速度を定義するために微分の概念を導入した。時間の関数をグラフに描いたとき、その曲線への接線の勾配を微分係数という。ライプニッツは、独立変数の微小変化に対する関数の変化の比率を考え […]
3. 初等関数（微積分学）
初等関数（elementary function）とは、数学において基本的でよく知られた関数の総称で、以下のような関数が初等関数として挙げられる。１．多項式関数（代数関数）（例:\( f(x) = x^2 + 3x + […]
26. 積分型最適レギュレータ
目標値がステップ関数であるサーボシステムの構成として、積分型最適レギュレータがある。これは、入力\(u(t)\) はできるだけ緩やかに変化させながら制御対象の出力\(y(t)\) と一定目標値\(r(t)\) との偏差\ […]
25. 最適レギュレータ
現代制御理論における最適レギュレータは、制御対象の状態を評価関数と呼ばれる指標に基づいて最適な状態に導く制御システムで、状態フィードバックを用いて制御し、評価関数の最小値となるようなフィードバックゲインを決定することで実 […]
17. 離散時間系の最適レギュレータ
最適レギュレータは、制御理論において、システムの状態を効率的に制御するためのフィードバック制御法である。システムの性能指標（評価関数）を最小化しつつ、システムの安定性や性能を最適化することを目的とする。 最適レギュレータ […]
14-1. 状態観測器（演習）
可制御、可観測の双対性 可制御性と可観測性の双対性とは、これらの2つの性質が密接な関係を持っていることを意味し、システムの可制御性に関する問題を、対応する「双対」システムにおける可観測性の問題に置き換えて考えることができ […]
12-1. 状態フィードバック制御（演習）
離散時間システムの状態フィードバック制御 離散時間システムが、$$x(k+1) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0. […]
9-1. 可制御性、可観測性（演習）
離散時間システムの可制御、可観測条件 連続時間システムの状態方程式が、$$\frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} x + […]
8-1. 離散時間システムの安定性（演習）
離散時間システムの安定性の基準 離散時間システムの特性方程式のすべての根（固有値、伝達関数の極）が単位円の内側に存在する場合、そのシステムは安定である。特性方程式の形は次のように表される。$$\phi(z) = a_0 […]
7-1. 離散時間システムの定常特性（演習）
$$P(s) = \frac{1}{s+1}$$の1次系とする。＊図１において、０次ホールドを使用して離散化した\(P(s)\)を求める。$$P(z) = (1 - z^{-1})\mathcal{Z} \left\{\ […]