6. システムの安定性

$(1)$式の自由システムにおいて、$Re\{\lambda_i\} \gt 0$の固有値があると、ある$\boldsymbol{x}(0)$に対して$||\boldsymbol{x}(t)|| \rightarrow \infty \;\; (t \rightarrow \infty )$となる。また、$Re\{\lambda_i\} = 0$の固有値があると、持続振動となったり、$\boldsymbol{x}(t) \rightarrow$一定$(t \rightarrow \infty)$となったりする。

極とシステムの応答【例】

$$\boldsymbol{\dot{x}}(t) =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}(t)$$ のインパルス応答を求める。システム行列（$A$行列）の固有値は、$[\lambda_1 , \lambda_2] = [j, -j]$である。

＊Scilab スクリプト
//極が虚軸上の[$j,-j$]の場合のインパルス応答
clear; clf;
A=[0 1 ;-1 0];　b=[1 ; 1];　c=[1 0;0 1];
G=syslin('c',A,b,c);
poles=spec(A);　/* 固有値（極）の計算*/
//インパルス応答
t=0:0.1:20;
y = csim('impulse',t,G);　scf(0);　plot(t',y');

固有値（極）が虚軸上の $[j, -j]$であるため、システムは不安定であり、インパルスを入力したときの状態変数$\boldsymbol{x}(t)$は持続振動となる。

$$\boldsymbol{\dot{x}}(t) =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}(t)$$ のインパルス応答を求める。システム行列（$A$行列）の固有値は、$[\lambda_1 , \lambda_2] = [j, j]$である。

＊Scilab スクリプト
//極が虚軸上の[$j,j$]の場合のインパルス応答
clear; clf;
A=[0 1 ;0 0];　b=[1 ; 1];　c=[1 0;0 1];
G=syslin('c',A,b,c);
poles=spec(A);　/* 固有値（極）の計算*/
//インパルス応答
t=0:0.1:20;
y = csim('impulse',t,G);　scf(0);　plot(t',y');

固有値（極）が虚軸上の $[j, j]$であるため、システムは不安定であり、インパルスを入力したときの状態変数$\boldsymbol{x}(t)$は定常値と発散値となる。