19. ボード線図

ゲイン線図では、横軸を角周波数\(\omega\)（または、周波数\(f\)）の対数目盛にとる。\(\omega\)（または、\(f\)）が10倍になる間隔を１デカート[dec]とよぶ。縦軸はゲインをとるが、\(g=20\log_{10}\left|G(j\omega)\right|\)[dB] とデシベルに変換して用いることが多い。（なお\(\log\)の底を10とした常用対数を使う。）デシベル表示では、ゲインが1倍（入出力の振幅の比が１）ならば\(0\)[dB]、10倍なら\(20\)[dB]、1/10倍なら\(-20\)[dB]となる。
位相線図では、横軸をゲイン線図と同様に角周波数\(\omega\)（または、周波数\(f\)）の対数目盛にとり、縦軸を位相角にとる。単位は度[deg]とする（[rad]にとる場合もある）。

積分要素\( G(s)=\frac{1}{s} \)は$$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}=-\frac{j}{\omega}$$なのでゲインは、$$g=20\log\left|-\frac{j}{\omega}\right|=20\log\left(\frac{1}{\omega}\right)$$ $$=-20\log\omega 　[dB]$$であり、位相は、\( \arg G(j\omega)=-90\text{°} \)となる。ゲインは\(-20dB/dec \)で低下し、位相は角周波数によらず\(90\text°\)遅れ（\(-90\text°\)）となる。

一次遅れ要素のボード線図

一次遅れ要素の周波数伝達関数は、$$G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega T}$$なのでゲインは、$$g=20\log\left(\frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}}\right)$$ $$=-20\log{\sqrt{1+(\omega T)^2}} 　[dB] $$ また、位相\(\phi\)は、$$\phi=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega T}{1}\right)=-\tan^{-1}(\omega T)　　[\text{°}] $$ となる。
\(\omega T \ll 1\)のとき、\(g \approx 0[dB]\), 　\(\phi \approx 0\text{°}\)
\(\omega T =1 \)のとき、\(g = -3[dB]\), 　\(\phi = -45\text{°}\)
\(\omega T \gg 1 \)のとき、\(g \approx -20\log(\omega T) [dB]\)に漸近し, \(\phi \approx -90\text{°}\)に漸近する。

二次遅れ要素の伝達関数は、$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$$ここで、\(\omega_n\)：自然角周波数、\(\zeta\) ：減衰係数　である。この周波数伝達関数は、\(s \rightarrow j\omega\)として、$$G(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2 + j2 \zeta \omega_n \omega + \omega_n^2}$$ $$ = \frac{1}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2+j2\zeta \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)} $$
角周波数を\(\Omega=\frac{\omega}{\omega_n}\)で規格化すると、$$G(j\omega)=\frac{1}{1 - \Omega^2+j2\zeta \Omega} $$なので、ゲイン：$$20\log\left|G(j\omega)\right| = 20\log\left(\frac{1}{\sqrt{(1 - \Omega)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2} }\right)$$
$$= -20\log\sqrt{(1-\Omega)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2}$$ 位相：$$\arg G(j\omega)=\tan^{-1}\left(\frac{2 \zeta \Omega}{1 - \Omega^2} \right)$$ となる。これより、
\(\Omega \ll 1\)のとき、\(g \approx 0[dB]\), 　\(\phi \approx 0\text{°}\)
\(\Omega =1 \)のとき、\(g = -20\log(2\zeta) [dB]\), 　\(\phi = -90\text{°}\)
\(\Omega \gg 1 \)のとき、\(g \approx -40\log \Omega [dB]\)に漸近し, \(\phi \approx -180\text{°}\)に漸近する。

//一次遅れ系のボード線図
clear; clf();
s=%s;
//時定数　T＝１
T=1;
G=1/(T*s+1); /* 一次遅れ要素の伝達関数　*/ Gs=syslin('c',G); /* Scilab 内部のシステム表現に変換 */
bode(Gs,'rad'); /* 横軸は角周波数　'rad'オプション */

//2次遅れ系のボード線図
clear; clf();
s=%s;
//自然周波数fn 1[Hz], 自然角周波数wn=2*pi*fn[rad/s]
fn=1;
wn=2*%pi*fn;
//減衰係数 zeta (減衰係数を0.1から0.1刻みで1.5まで変える)
for zeta=0.1:0.1:1.5
G=(wn*wn)/(s^2+2.*zeta*wn*s+wn*wn); /* 伝達関数　*/
Gs=syslin('c',G); /* Scilab 内部のシステム表現に変換　*/
//ボード線図
scf(0);
gainplot(Gs,0.01,100); /* ゲインー周波数特性 */
scf(1);
phaseplot(Gs,0.01,100); /* 位相ー周波数特性　*/
end;　　　 /* for - end */

一次遅れ系のボード線図を描くスクリプトでは、bode関数を使用して横軸を角周波数で描いた。なお、bode関数のオプション'rad’を省略すると横軸は周波数[Hz]になる。詳細は、こちらを参照して欲しい。
二次遅れ系のボード線図を描くスクリプトでは、gainplot関数とphaseplot関数を使用している。\(\zeta\)を変化させないボード線図を描くのであれば、bode関数を用いた方が手軽である。