19. ボード線図

ゲイン線図では、横軸を角周波数$\omega$（または、周波数$f$）の対数目盛にとる。$\omega$（または、$f$）が10倍になる間隔を１デカート[dec]とよぶ。縦軸はゲインをとるが、$g=20\log_{10}\left|G(j\omega)\right|$[dB] とデシベルに変換して用いることが多い。（なお$\log$の底を10とした常用対数を使う。）デシベル表示では、ゲインが1倍（入出力の振幅の比が１）ならば$0$[dB]、10倍なら$20$[dB]、1/10倍なら$-20$[dB]となる。
位相線図では、横軸をゲイン線図と同様に角周波数$\omega$（または、周波数$f$）の対数目盛にとり、縦軸を位相角にとる。単位は度[deg]とする（[rad]にとる場合もある）。

積分要素$G(s)=\frac{1}{s}$は $$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}=-\frac{j}{\omega}$$ なのでゲインは、 $$g=20\log\left|-\frac{j}{\omega}\right|=20\log\left(\frac{1}{\omega}\right)$$ $$=-20\log\omega 　[dB]$$ であり、位相は、$\arg G(j\omega)=-90\text{°}$となる。ゲインは$-20dB/dec$で低下し、位相は角周波数によらず$90\text°$遅れ（$-90\text°$）となる。

一次遅れ要素のボード線図

一次遅れ要素の周波数伝達関数は、 $$G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega T}$$ なのでゲインは、 $$g=20\log\left(\frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}}\right)$$ $$=-20\log{\sqrt{1+(\omega T)^2}} 　[dB]$$ また、位相$\phi$は、 $$\phi=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega T}{1}\right)=-\tan^{-1}(\omega T)　　[\text{°}]$$ となる。
$\omega T \ll 1$のとき、$g \approx 0[dB]$, 　$\phi \approx 0\text{°}$
$\omega T =1$のとき、$g = -3[dB]$, 　$\phi = -45\text{°}$
$\omega T \gg 1$のとき、$g \approx -20\log(\omega T) [dB]$に漸近し, $\phi \approx -90\text{°}$に漸近する。

二次遅れ要素の伝達関数は、 $$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$$ ここで、$\omega_n$：自然角周波数、$\zeta$ ：減衰係数　である。この周波数伝達関数は、$s \rightarrow j\omega$として、 $$G(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2 + j2 \zeta \omega_n \omega + \omega_n^2}$$ $$= \frac{1}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2+j2\zeta \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)}$$
角周波数を$\Omega=\frac{\omega}{\omega_n}$で規格化すると、 $$G(j\omega)=\frac{1}{1 - \Omega^2+j2\zeta \Omega}$$ なので、ゲイン： $$20\log\left|G(j\omega)\right| = 20\log\left(\frac{1}{\sqrt{(1 - \Omega)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2} }\right)$$
$$= -20\log\sqrt{(1-\Omega)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2}$$ 位相： $$\arg G(j\omega)=\tan^{-1}\left(\frac{2 \zeta \Omega}{1 - \Omega^2} \right)$$ となる。これより、
$\Omega \ll 1$のとき、$g \approx 0[dB]$, 　$\phi \approx 0\text{°}$
$\Omega =1$のとき、$g = -20\log(2\zeta) [dB]$, 　$\phi = -90\text{°}$
$\Omega \gg 1$のとき、$g \approx -40\log \Omega [dB]$に漸近し, $\phi \approx -180\text{°}$に漸近する。

//一次遅れ系のボード線図
clear; clf();
s=%s;
//時定数　T＝１
T=1;
G=1/(T*s+1); /* 一次遅れ要素の伝達関数　*/ Gs=syslin('c',G); /* Scilab 内部のシステム表現に変換 */
bode(Gs,'rad'); /* 横軸は角周波数　'rad'オプション */

//2次遅れ系のボード線図
clear; clf();
s=%s;
//自然周波数fn 1[Hz], 自然角周波数wn=2*pi*fn[rad/s]
fn=1;
wn=2*%pi*fn;
//減衰係数 zeta (減衰係数を0.1から0.1刻みで1.5まで変える)
for zeta=0.1:0.1:1.5
G=(wn*wn)/(s^2+2.*zeta*wn*s+wn*wn); /* 伝達関数　*/
Gs=syslin('c',G); /* Scilab 内部のシステム表現に変換　*/
//ボード線図
scf(0);
gainplot(Gs,0.01,100); /* ゲインー周波数特性 */
scf(1);
phaseplot(Gs,0.01,100); /* 位相ー周波数特性　*/
end;　　　 /* for - end */

一次遅れ系のボード線図を描くスクリプトでは、bode関数を使用して横軸を角周波数で描いた。なお、bode関数のオプション'rad’を省略すると横軸は周波数[Hz]になる。詳細は、こちらを参照して欲しい。
二次遅れ系のボード線図を描くスクリプトでは、gainplot関数とphaseplot関数を使用している。$\zeta$を変化させないボード線図を描くのであれば、bode関数を用いた方が手軽である。