5. カルノー図による論理式の簡単化

カルノー図は、論理回路や論理関数を視覚的に表現するための図形ツールである。主に２進数変数を持つ論理関数を簡単化するために用いられる。カルノー図は、真理値表から得られる情報を整理し、最適な論理回路の設計や単純化に役立つ。
カルノー図の基本的な特徴と使用法を以下に示す。
サイズと配置：カルノー図は、入力変数が$n$個の場合、$2^n$個のセルを持つ正方形の格子状の図となる。各セルは、入力変数の可能な組み合わせ（最小項）に対応している。
セルの値：各セルには、論理関数の出力に対応する真理値を表示する。
グルーピング：隣り合ったセルをまとめてグループに分け、特定の条件を満たす最小項の集合を表現する。グループは２の冪数　 $2^n \;\;\;(n=0,1,2,\cdots)$ として表現され、できるだけ大きなグループを作ることが目標となる。
論理関数の単純化：カルノー図上でグルーピングされた領域において、その領域内のセルに対応する最小項を論理和（OR）で結合することで、論理関数を単純化することが可能となる。
以上により、最小な論理ゲートの組み合わせで関数を実現することができる。
カルノー図は、論理関数の視覚的な理解と単純化に有効であるが、入力変数が多いと図示が難しくなるため、実用的に使うというより、論理関数の視覚的な理解に使用される。

カルノー図の作成

論理式の簡単化

図６の最小項の論理和で論理関数を求めると、 $$Z=f(A,B,C,D)\\ = \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{A} \cdot B \cdot C \cdot D + A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + A \cdot B \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot C \cdot D$$ となる。
カルノー図から、論理関数を作るには、長方形の各ループから共通変数を取り出した論理積を作り、その論理和をとる。図６では、青ループは、$\overline{A}\cdot B \cdot \overline{C}$、緑ループは、$A \cdot C \cdot D$、赤ループは、$B \cdot D$となっている。従って、論理関数は、 $$Z = f(A,B,C,D) = \overline{A}\cdot B \cdot \overline{C} + A \cdot C \cdot D + B \cdot D$$ となる。これは、最小項の論理和で求めた論理関数が簡単化されている。

次の論理関数を簡単化する。 $$Z = f(A,B,C,D) = A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} + A \cdot \overline{B} \cdot D + \overline{A} \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + A \cdot B \cdot C \cdot D$$ この式からカルノー図を描くと図７のようになる。