5. カルノー図による論理式の簡単化
tctyamカルノー図は、論理回路や論理関数を視覚的に表現するための図形ツールである。主に２進数変数を持つ論理関数を簡単化するために用いられる。カルノー図は、真理値表から得られる情報を整理し、最適な論理回路の設計や単純化に役立つ。
カルノー図の基本的な特徴と使用法を以下に示す。
サイズと配置：カルノー図は、入力変数が\(n\)個の場合、\(2^n\)個のセルを持つ正方形の格子状の図となる。各セルは、入力変数の可能な組み合わせ（最小項）に対応している。
セルの値：各セルには、論理関数の出力に対応する真理値を表示する。
グルーピング：隣り合ったセルをまとめてグループに分け、特定の条件を満たす最小項の集合を表現する。グループは２の冪数 \(2^n \;\;\;(n=0,1,2,\cdots)\) として表現され、できるだけ大きなグループを作ることが目標となる。
論理関数の単純化：カルノー図上でグルーピングされた領域において、その領域内のセルに対応する最小項を論理和（OR）で結合することで、論理関数を単純化することが可能となる。
以上により、最小な論理ゲートの組み合わせで関数を実現することができる。
カルノー図は、論理関数の視覚的な理解と単純化に有効であるが、入力変数が多いと図示が難しくなるため、実用的に使うというより、論理関数の視覚的な理解に使用される。
カルノー図の作成
図１は、論理変数が\(A\)だけの場合のカルノー図である。
図２は、論理変数が\(A,\;B\)の２種類の場合のカルノー図で、各セルが主加法標準形の最小項となる。
表１の真理値表をこの図２に適用すると図３のように表せる。
| \(A\) | \(B\) | \(Z\) | 最小項 |
| 0 | 0 | 1 | \(\overline{A} \cdot \overline{B}\) |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | \(A \cdot B\) |
図３のカルノー図より、図２を参照して、出力\(Z\)が１となるセルの最小項の論理和をとることで、$$Z=f(A,B)=\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B$$として、論理関数\(f(A,B)\)が求まる。
図４は、論理変数が\(A,\; B, \; C\)の３種類の場合のカルノー図で、各セルが主加法標準形の最小項となる。
論理式の簡単化
図５のカルノー図を考える。この図の最小項の論理和は、$$Z = A \cdot \overline{B} + A \cdot B$$となる。ここで、赤線で囲ったように隣のセルをまとめることができる。この赤線で囲まれたところは\(A\)だけで決まるので、$$Z=A \cdot \overline{B} + A \cdot B=A$$である。論理式の整理で示すと、$$Z=A \cdot \overline{B} + A \cdot B = A \cdot (\overline{B} + B) = A$$である。
図６は、変数が\(A, \; B, \; C, \; D\)の ４種類の場合のカルノー図の例である。簡単化は以下の手順で行う。
・以下を原則として、図の中の全ての１を出来るだけ少ない長方形で囲むようにする。
１）長方形の中は全て１であること。
２）長方形の中の１の数は\(2^n\)であること。
３）同じセルを２つ以上の長方形で共有しても良い。
４）カルノー図の上下端、左右端は連続していると考える。
図６の最小項の論理和で論理関数を求めると、$$Z=f(A,B,C,D)\\ = \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{A} \cdot B \cdot C \cdot D + A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + A \cdot B \cdot C \cdot D + A \cdot \overline{B} \cdot C \cdot D$$となる。
カルノー図から、論理関数を作るには、長方形の各ループから共通変数を取り出した論理積を作り、その論理和をとる。図６では、青ループは、\(\overline{A}\cdot B \cdot \overline{C}\)、緑ループは、\(A \cdot C \cdot D\)、赤ループは、\(B \cdot D\)となっている。従って、論理関数は、$$Z = f(A,B,C,D) = \overline{A}\cdot B \cdot \overline{C} + A \cdot C \cdot D + B \cdot D$$となる。これは、最小項の論理和で求めた論理関数が簡単化されている。
次の論理関数を簡単化する。$$Z = f(A,B,C,D) = A \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} + A \cdot \overline{B} \cdot D + \overline{A} \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + A \cdot B \cdot C \cdot D$$ この式からカルノー図を描くと図７のようになる。
図７より、青ループは、\(C \cdot D\)、緑ループは、\(\overline{B} \cdot \overline{C}\)、赤ループは、\(\overline{A} \cdot \overline{D}\)となっている。従って、理関数は、$$Z = f(A,B,C,D) = C \cdot D + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{A} \cdot \overline{D}$$となる。なお、緑ループの上端と下端、赤ループの左端と右端はループが繋がっている。
