1. 離散時間制御系の基本事項

質量・ダンパー・バネで構成されたシステムの数学モデルを考える。このシステムでは、質量\(M\)の鉄球がバネ、ダンパーで支持されており、重力とバネ力が釣り合っている位置\(0\)を起点として、電磁石により鉄球に外力\(u(t)\)を与え、鉄球の変位を制御する。
この微分方程式は、$$M\frac{d^2x(t)}{dt^2} + B\frac{dx(t)}{dt} +Kx(t) = u(t)$$となる。 これを初期値\(0\)でラプラス変換すると、$$Ms^2X(s)+BsX(s)+KX(s)=U(s)$$なので、外力\(u(t)\)から変位\(x(t)\)までの伝達関数は、$$G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ms^2+Bs+K}$$ $$=\frac{\frac{1}{M}}{s^2 + \frac{B}{M}s + \frac{K}{M}}$$となる。

これを状態空間で考えると、状態変数を\(x_1(t)=x(t)\)、\(x_2(t)=v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{dx_1(t)}{dt}\)として、\(\frac{dx_1(t)}{dt}=x_2(t)\)、\(\frac{dx_2(t)}{dt}=-\frac{K}{M}x_1(t) - \frac{B}{M}x_2(t) + \frac{1}{M}u(t)\)となるので、さらに行列を使って表すと、$$\frac{d}{dt}\left[\begin {array}{c c}x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c} 0 & 1 \\ -a_2 & -a_1 \end {array} \right]\left[\begin{array}{c c}x_1(t) \\ x_2(t)\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c c} 0 \\ b\end{array}\right]u(t)$$ (\(a_1 =\frac{B}{M}\)、\(a_2=\frac{K}{M}\)、\(b=\frac{1}{M}\)) となる。これを状態方程式という。また、$$y(t)=\left[\begin{array}{c c}1 & 0\end{array}\right]\left[\begin {array}{c c}x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right]$$を出力方程式という。

ｓ領域での伝達関数や状態方程式で表現した連続時間制御系に制御器を実装するには、多くの場合コンピュータ（ディジタル制御器）を使用することになる。例えば、図「定位置追従システム（状態フィードバック）」では、各状態変数\(x_1(t)\)、\(x_2(t)\)を測定し、A/D変換器でディジタル量に変換し、コンピュータに入力する。制御演算をした後、D/A変換器でアナログ量に変換して制御対象に操作量を加えることになる。
※A/D変換器（Analog to Digital converter）：アナログ量をディジタル量に変換する回路
※D/A変換器（Digital to Analog converter）：ディジタル量をアナログ量に変換する回路
（変換器回路に関しては、「電子回路の基礎」で紹介する予定です。）

離散時間システム

離散時間信号は連続時間信号からサンプリングして生成される。従って、$$f^{*}(t)=\{f(kT)\} \enspace (k=0,1,2,\cdots)$$と表される。\(T\)はサンプリング周期である。連続時間信号\(f(t)\)と\(\delta\)関数を使って表すと、$$f^{*}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}f(t)\delta(t-kT)=\{f(0), f(T), f(2T),f(3T),\cdots\}$$となる。
※A/D変換では量子化誤差を考える必要があるが、観測値（制御量）に対して十分な分解能を持ったA/D変換器を使用すれば、基本的に無視できる。最近のA/D変換器は電子回路の高集積化に伴い十分な分解能を持っているので、通常、量子化誤差は考慮しなくて良い。

サンプリング定理

データとして扱うために、連続信号である原信号（元のアナログ信号）から離散的な信号値であるデジタル信号を取り出すことをサンプリングという。サンプリングする周波数をサンプリング周波数という。
サンプリング定理とは、原信号の最大周波数の２倍を超えた周波数でサンプリングすれば原信号を再現できる。
\(f_s\)[Hz]：サンプリング周波数　　\(T_s\)[s]：サンプリング周期
\(f_s=\frac{1}{T_s}\)　　\(\omega = 2\pi f\)[rad/s]　(角周波数）
\(f_{max}\) [Hz] ：原信号（元のアナログ信号）の最大周波数 $$f_s \gt 2f_{max}  \enspace  \enspace    \omega_ s \gt 2\omega_{max}$$ $$\omega_s =\frac{2\pi}{T_s}   \enspace \enspace     T_s \lt \frac{\pi}{\omega_{max}}$$  サンプリング周波数は、原信号の最大周波数の２倍を超えた（注：２倍以上ではない）周波数である必要がある。原信号が復元可能な周波数の上限をナイキスト周波数という。
※リアルタイムの制御では、制御帯域の最大周波数より十分に高い周波数（一般的には10倍以上）でサンプリングする必要がある。