25. RL直列回路、RC直列回路

$R$だけの直列接続

図「直列抵抗回路」のように、抵抗$R_1,R_2,R_3$を直列に接続した場合の合成抵抗$R$は、直流回路の場合と同様で、 $$R = R_1 +R_2 + R_3 \; [\Omega]$$ と表せる。

$L$だけの直列接続

図「直列インダクタ回路」のように、インダクタ$L_1,L_2,L_3$を直列に接続した場合の合成インダクタンス$L$は、 $$L = L_1 + L_2 +L_3$$ である。この両辺に$\omega$を乗じると、 $$\omega L = \omega L_1 + \omega L_2 + \omega L_3$$ となる。よって、 $$X_L = X_1 + X_2 +X_3 \;[\Omega]$$ である。従って、直列の誘導性リアクタンスは、各インダクタンスのリアクタンスの和に等しくなる。

$C$だけの直列接続

図「直列キャパシタ回路」のように、キャパシタ$C_1,C_2,C_3$を直列に接続した場合の合成キャパシタンス$C$は、 $$\frac{1}{C} =\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$$ となる。この両辺に$\frac{1}{\omega}$を乗じると、 $$\frac{1}{\omega C} = \frac{1}{\omega C_1} + \frac{1}{\omega C_2} + \frac{1}{\omega C_3}$$ である。よって、 $$X_c= X_1 + X_2 + X_3 \;[\Omega]$$ である。従って、直列の容量性リアクタンスは、各キャパシタンスのリアクタンスの和に等しくなる。

図「$RL$直列回路」のように抵抗$R \; [\Omega]$とインダクタンス$L \; [H]$とが直列に接続された回路に$e = E_m \sin (\omega t + \theta) \; [V]$の電圧を加えた場合を考える。
この回路に流れる電流を$i = I_m \sin \omega t \; [A]$とすると、$R$の両端の電圧は、 $$e_R = R I_m \sin \omega t$$ また、$L$の両端の電圧は、 $$e_L = \omega L I_m \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) = \omega L I_m \cos \omega t$$

図「三角比」を参照すると、 $$\sin \theta = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2} } , \;\;\;\;\; \cos \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2} } , \\ \tan \theta = \frac{\omega L}{R}$$

この関係をベクトル図にすると、図「$RL$直列回路のベクトル図」となる。$\dot{E}_R$と$\dot{E}_L$をベクトルで加算すると$\dot{E}$となる。すなわち、 $$\dot{E}_R + \dot{E}_L = \dot{E} \; [V]$$ であり、大きさの関係は、 $$E =\sqrt{{E_R}^2 + {E_L}^2} = \sqrt{(RI)^2 + (X_L I)^2} \\= \sqrt{R^2 + {X_L}^2} I = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} I \; [V]$$

図「$RC$直列回路」のように、抵抗$R \; [\Omega]$と静電容量$C \; [F]$が直列に接続された回路に$\dot{E} \;[V]$の電圧を加えたとき、電流$\dot{I} \; [A]$が流れたとすると、$R$両端の電圧は、 $$E_R = R I \; [V]$$ $C$の両端の電圧は、 $$E_C = X_C I = I / \omega C \;[V]$$ となる。また、$\dot{E}_R$は$\dot{I}$と同相、$\dot{E}_C$は$\dot{I}$より$\pi /2$　遅れる。

ベクトル図で表すと図「$RC$直列回路のベクトル図」のようになる。従って、供給電圧と電流の大きさの関係は、 $$E = \sqrt{{E_R}^2 + {E_C}^2} = \sqrt{(RI)^2 + (X_c I)^2} \\ = \sqrt{R^2 +\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2 }I \; [V]$$ $$I =\frac{E}{\sqrt{R^2 + \left( \frac{1}{\omega C}\right)^2 }} \; [A]$$ となる。