7. 逆ラプラス変換

逆ラプラス変換の定義式は以下となる。
定義式： $$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)e^{st}ds$$ $s$は複素数：$\sigma + j\omega$
$s$領域の関数 $F(s)$ を時間領域の関数 $f(t)$ に変換（写像）する。

逆ラプラス変換は定義式のように複素積分で表せるが、計算は簡単ではない。しかし、実際に複素積分をすることはあまりない。
実用的には、ラプラス変換した関数の基となる時間関数が分かる形であれば逆変換できるからである。

$F_1(s)=\mathcal{L}\left\{f_1(t)\right\}$ 　， $F_2(s)=\mathcal{L}\left\{f_2(t)\right\}$ 　とすると
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{aF_1(s) + bF_2(s)\right\}$$ $$=a\mathcal{L}^{-1}\left\{F_1(s)\right\} + b\mathcal{L}^{-1}\left\{F_2(s)\right\}$$ $$=af_1(t) + bf_2(t)$$

逆ラプラス変換も線形性が成り立つので、ラプラス変換された関数が、複数の逆ラプラス変換が分かっている関数に分解できれば、ラプラス変換した関数を容易に逆ラプラス変換できることになる。
制御工学で扱うラプラス変換された関数 F(s)は、ほぼｓの有理関数であり、ｓの有理関数は部分分数展開できる。そして、各々の部分分数はラプラス変換対表を使って逆変換できる。

※ｓの有理関数：ｓの多項式の比となっているということ。