40. 実積分への応用（複素関数）
積分計算の手順 \(I=\int_C f(z) dz \)を計算する。１）\(f(z)\)の極で\(C\)の内部にあるもの\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)を求める。２）留数\(\ […]
39. 留数定理（複素関数）
ローラン展開において、\(f(z)_1\)と\(f(z)_2\)の級数はそれぞれ収束し、その和が左辺\(f(z)\)に一致する。また、\(f(z)\)が穴あき円板\(D = \{z \in \mathbb{C}\;|\; […]
38. べき級数展開（複素関数）
べき級数展開は、複素関数論における正則関数の解析的な性質と密接に結びついており、実関数の定積分を計算する際に強力なツールとなる。例えば、高階導関数の公式$$f^{(n)}(\alpha) = \frac{n!}{2 \p […]
37. コーシーの積分公式（複素関数）
コーシーの積分定理と同じ仮定の下で、コーシーの積分公式が成立する。 【証明（概要）】証明したい積分を\(I\)とする。 $$I = \int_C \frac{f(z)}{z - \alpha} dz$$点\(\alpha […]
36. 積分定理の応用と証明（複素関数）
【証明（概要）】・\(\alpha\)が\(C\)の外部にあるとき：関数\(f(z) = \frac{1}{z - \alpha}\)は、曲線\(C\)およびその内部を含む領域\(D\)で正則である。特異点\(\alph […]
35. コーシーの積分定理（複素関数）
まず、複素線積分を計算可能な積分に置き換えることを考える。 複素関数\(f(z)\)および曲線\(C\)上の微小変位\(dz\)を、実部と虚部に分解する。 ここで、\(z = x + j y\)とする。\(f(z) = […]
34. 複素線積分（複素関数）
複素線積分においてコーシー・リーマンの定理が重要である。コーシー・リーマンの定理は、関数が正則（複素微分可能）であるための必要十分条件を与え、複素関数論の主要な成果は、この「正則性」という性質に大きく依存する。 リーマン […]
33. コーシー・リーマンの定理（複素関数）
まず、導関数（複素関数）の公式をまとめておく。 公式 ４）合成関数の微分法則の証明（概略）：\(h(z) = g(f(z))\)とおく。\(h(z)\)の微分\(h'(z)\)は、微分の定義により次の極限として与えられる […]
32. 複素関数の微分（複素関数）
実関数における「微分」の役割は、関数のグラフを接線（1 次関数）で近似することで各点における関数の局所的な変化を表現するものである。複素関数の場合も同様で、関数はある点をある点に写すことになるのだが、その局所的な作用を1 […]
31. 関数の極限と連続性（複素関数）
複素関数の極限は、実数関数の極限と基本的な考え方は同じであるが、複素数特有の性質があるため、より厳密な理解が必要である。 ※ (1)の\(|z - \alpha| \rightarrow 0\)は実数の意味なので、実数と […]
30. 三角関数（複素関数）
\(\theta \in \mathbb{R}\)のとき、指数関数の定義から\(e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta\)（オイラーの公式）が成立する。この式の\(\thet […]
29. 複素数べき（複素関数）
複素数べき（複素数の複素数乗）：複素数\(z \neq 0\)と複素数\(w\)にたいし、「\(z\)の\(w\)乗」を$$z^w := e^{w \log z}$$と定義する。ただし、\(\log z\)は複素数の対数 […]
28. 指数・対数関数（複素関数）
指数関数の像 実数の指数関数 \(f(x) = e^x\)の場合、入力（定義域）は１次元の実数直線、出力（値域）も１次元の実数直線なので、入力を横軸、出力を縦軸にとることで２次元のグラフとして描くことができる。しかし、複 […]
27．指数関数（複素関数）
ド・モアブルの公式は、オイラーの公式を用いることで複素数の指数関数により簡単に導ける。 ド・モアブルの公式 ド・モアブルの公式は、任意の複素数\(z = \cos \theta + j \sin \theta \) と整 […]
26．複素数と複素平面（複素関数）
注意：数学では虚数単位に\(i\)を用いることが多いが、ここでは、虚数単位として工学系で良く用いられる\(j\)を使う。 複素数 複素数は、実数の概念を拡張したものであり、すべての実数は虚部が 0 の複素数とみなせる。ま […]
25. 三角関数の公式
電気回路、計測工学、制御工学でよく現れる三角関数の公式について、オイラーの公式を使った導出法を中心にしてまとめる。※オイラーの公式をこのように利用するのは数学的には適切ではないかもしれないが、各種公式の導出が楽になる。 […]
24. 固有値と固有ベクトル
行列の固有値と固有ベクトルは、線形代数での重要な概念であり、2次形式の標準形、機械学習、信号処理、物理学など幅広い分野で応用される。 固有値 行列 \(A\)に対して、式(1)の条件を満たすスカラー \(\lambda\ […]
23. テンソル（ベクトル解析）
テンソルは、多次元データを表す数学的な構造であり、スカラー、ベクトル、行列を含む一般化された概念である。簡単にまとめると、多次元配列を一般化した概念で、イメージとしては、スカラー、ベクトル、行列をさらに高次元にしたもので […]
22. ベクトルの微分積分（ベクトル解析）
ベクトルの微分と積分は、ベクトル解析や物理学、工学において重要な数学的ツールである。これらは、スカラー場やベクトル場における変化の解析や物理現象の記述に広く使われる。 ベクトルの微分 ベクトルの微分は、スカラー関数の微分 […]
21. 内積と外積（ベクトル解析）
内積と外積は、ベクトルに関する基本的な演算であり、それぞれ異なる性質や用途を持っている。それぞれの定義、計算方法、幾何学的意味、応用について考える。 内積 図１に示すように、三次元の空間にあるベクトルを空間ベクトルという […]