20. 演算子法（微分演算子）
微分演算子法は、微分方程式の解法や関数の性質を解析するための便利な手法である。この方法では、微分操作を数学的演算子として扱い、代数的な操作を通じて解を求める。微分演算を「変数を乗ずることの拡張概念」として捉えることで、計 […]
19. 偏微分方程式（微分方程式）
偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）は、複数の独立変数に依存する未知関数とその偏導関数を含む方程式である。これは、物理学、工学、生物学、経済学など、多くの分野で自然現象やシス […]
18. フーリエ級数（微分方程式）
スツルム・リューヴィルの境界値問題とフーリエ級数は、直交関数系による展開という点で密接に関連している。スツルム・リューヴィル型の微分方程式は式(1)の一般形で表される。$$\left(\frac{d}{dt}p(t) + […]
17. 境界値問題（微分方程式）
２階同次線形微分方程式の境界値問題を考える。初期値問題は、独立変数\(t\)のある１点における未知関数\(x(t)\)の値と導関数\(x'(t)\)の値を与えて、微分方程式の解を求める問題である。これに対して、境界値問題 […]
16. 特殊関数Ⅱ（微分方程式）
ルジャンドルの微分方程式 ルジャンドルの微分方程式は、球対称性や直交性を持つ関数を特徴付ける重要な微分方程式で、その解であるルジャンドル関数は、数学と物理学の多くの分野で用いられる。ルジャンドルの微分方程式は、二階の線形 […]
15. 特殊関数Ⅰ（微分方程式）
オイラーのガンマ関数やベータ関数は、パラメータの関数である。つまり積分表示で定義されるが、積分変数とは関係のない変数の関数である。このような関数で有名なものがリーマンのゼータ関数$$\zeta(s)= \sum_{n=1 […]
1. 人類とAIの関係
※機械学習のネタ書きに行き詰ったので。 脳休めの駄文です^_^; 「人類はAI（次世代の生命体）を生み出すための仕組みである」という説は、SF的な陳腐な説ではあるが哲学的な視点で議論されてもよいと思う。もっとも結論は、人 […]
14. ２階線形微分方程式（微分方程式）
係数関数の基本解系による表示 式(1)の２階同次線形微分方程式の基本解系を\(\{x_1,\; x_2\}\)とする。$$x'' + p_1(t)x' + p_2(t) x = 0 \;\;\; \cdots (1)$$ […]
1. 機械学習のタイプ
機械学習には、データの種類や目的に応じていくつかの主要なタイプがある。それぞれのタイプには特徴的なアルゴリズムと応用範囲がある。機械学習システムは、学習中に受ける人間の関与の程度、タイプによって分類できる。主要なタイプは […]
13. 線形微分方程式（微分方程式）
線形微分方程式とは、未知関数（通常 \(x(t)\) などで表される）とそのすべての導関数（1階、2階、またはそれ以上の階数）が線形結合された形を持つ微分方程式を指す。線形性の条件として、未知関数\(x\) およびその微 […]
12. 高階微分方程式（微分方程式）
高階微分方程式とは、微分の次数が２以上の微分方程式を指す。たとえば、３階の微分方程式は$$y^{(3)} + p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = g(x)$$のような形式となる。ここで、\(y^{(3) […]
11. １階微分方程式（微分方程式）
簡単な現象論的モデルは１階微分方程式になることが多い。１．放射性元素の崩壊放射性元素は一定の割合で崩壊するので、次の１階の微分方程式でモデル化される。$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N \;\;\; […]
10. 常微分方程式（微分方程式）
常微分方程式（Ordinary Differential Equation：ODE）は、未知の関数とその導関数を含む方程式のことである。常微分方程式は、関数の変化を記述するために使われ、しばしば時間や空間など、1つの独立 […]
9. ガンマ関数とベータ関数（微積分学）
ガンマ関数 ガンマ関数は、自然数に対して定義される階乗の概念を連続数に一般化した関数である。ガンマ関数は複素数の実部が正の領域において定義され、特に実数の範囲で広く利用される。 式(1)で\(\nu\)を\(\nu + […]
8. ローラン展開（微積分学）
正則な複素関数のテイラー展開 初等関数\(1/(1+x)\)のテイラー展開は、$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \;\;\; \cdots (1)$$である […]
7. 解析関数（微積分学）
解析関数とは、ある点の近傍で無限回微分可能であり、かつその点におけるテイラー展開がその近傍で収束するような関数のことを指す。複素変数\(z\)の関数\(w = f(z)\)が微分可能なとき、すなわち、$$\lim_{\D […]
6. テイラー展開（微積分学）
ある区間で連続な関数は、その区間において\(C^0\)級であるという。同様に、ある区間で\(n\)回微分可能で\(n\)階導関数が連続な関数は、その区間で\(C^n\)級であるという。何回も微分可能ならば\(C^{\in […]
5. 積分（微積分学）
積分の定義は、微分の逆演算と関数のグラフをヒストグラムの極限と見た時の面積という２つの面がある。※微小量、微分の記法などについては、 4. 微分（微積分学）を参照願います。 微分の逆演算としての積分 \(F(x)\)の導 […]