39. 留数定理（複素関数）
ローラン展開において、\(f(z)_1\)と\(f(z)_2\)の級数はそれぞれ収束し、その和が左辺\(f(z)\)に一致する。また、\(f(z)\)が穴あき円板\(D = \{z \in \mathbb{C}\;|\; […]
38. べき級数展開（複素関数）
べき級数展開は、複素関数論における正則関数の解析的な性質と密接に結びついており、実関数の定積分を計算する際に強力なツールとなる。例えば、高階導関数の公式$$f^{(n)}(\alpha) = \frac{n!}{2 \p […]
37. コーシーの積分公式（複素関数）
コーシーの積分定理と同じ仮定の下で、コーシーの積分公式が成立する。 【証明（概要）】証明したい積分を\(I\)とする。 $$I = \int_C \frac{f(z)}{z - \alpha} dz$$点\(\alpha […]
36. 積分定理の応用と証明（複素関数）
【証明（概要）】・\(\alpha\)が\(C\)の外部にあるとき：関数\(f(z) = \frac{1}{z - \alpha}\)は、曲線\(C\)およびその内部を含む領域\(D\)で正則である。特異点\(\alph […]
35. コーシーの積分定理（複素関数）
まず、複素線積分を計算可能な積分に置き換えることを考える。 複素関数\(f(z)\)および曲線\(C\)上の微小変位\(dz\)を、実部と虚部に分解する。 ここで、\(z = x + j y\)とする。\(f(z) = […]
34. 複素線積分（複素関数）
複素線積分においてコーシー・リーマンの定理が重要である。コーシー・リーマンの定理は、関数が正則（複素微分可能）であるための必要十分条件を与え、複素関数論の主要な成果は、この「正則性」という性質に大きく依存する。 リーマン […]
33. コーシー・リーマンの定理（複素関数）
まず、導関数（複素関数）の公式をまとめておく。 公式 ４）合成関数の微分法則の証明（概略）：\(h(z) = g(f(z))\)とおく。\(h(z)\)の微分\(h'(z)\)は、微分の定義により次の極限として与えられる […]
32. 複素関数の微分（複素関数）
実関数における「微分」の役割は、関数のグラフを接線（1 次関数）で近似することで各点における関数の局所的な変化を表現するものである。複素関数の場合も同様で、関数はある点をある点に写すことになるのだが、その局所的な作用を1 […]
31. 関数の極限と連続性（複素関数）
複素関数の極限は、実数関数の極限と基本的な考え方は同じであるが、複素数特有の性質があるため、より厳密な理解が必要である。 ※ (1)の\(|z - \alpha| \rightarrow 0\)は実数の意味なので、実数と […]
30. 三角関数（複素関数）
\(\theta \in \mathbb{R}\)のとき、指数関数の定義から\(e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta\)（オイラーの公式）が成立する。この式の\(\thet […]
29. 複素数べき（複素関数）
複素数べき（複素数の複素数乗）：複素数\(z \neq 0\)と複素数\(w\)にたいし、「\(z\)の\(w\)乗」を$$z^w := e^{w \log z}$$と定義する。ただし、\(\log z\)は複素数の対数 […]
28. 指数・対数関数（複素関数）
指数関数の像 実数の指数関数 \(f(x) = e^x\)の場合、入力（定義域）は１次元の実数直線、出力（値域）も１次元の実数直線なので、入力を横軸、出力を縦軸にとることで２次元のグラフとして描くことができる。しかし、複 […]
27．指数関数（複素関数）
ド・モアブルの公式は、オイラーの公式を用いることで複素数の指数関数により簡単に導ける。 ド・モアブルの公式 ド・モアブルの公式は、任意の複素数\(z = \cos \theta + j \sin \theta \) と整 […]
26．複素数と複素平面（複素関数）
注意：数学では虚数単位に\(i\)を用いることが多いが、ここでは、虚数単位として工学系で良く用いられる\(j\)を使う。 複素数 複素数は、実数の概念を拡張したものであり、すべての実数は虚部が 0 の複素数とみなせる。ま […]
25. 三角関数の公式
電気回路、計測工学、制御工学でよく現れる三角関数の公式について、オイラーの公式を使った導出法を中心にしてまとめる。※オイラーの公式をこのように利用するのは数学的には適切ではないかもしれないが、各種公式の導出が楽になる。 […]
11. スライディングモード到達則
式(1)のシステムを考える。$$\dot x = A x + B u,\quad \sigma = S x \;\;\; \cdots (1)$$ 超平面 \(\sigma_i\)でのスライディングモードの存在条件は式( […]
15. 平山観音院の千手観音と不動明王
近隣の寺院参拝ということで、平山観音院（高野山真言宗：北九州市）へお参りに行った。平山観音院は、十一面観音を本尊とし、江戸時代に建立されたと云われている。淡島神社に到る県道262号の途中に案内看板があり、そこから農道を山 […]
10. スライディングモード制御器の設計
スライディングモード制御則の設計の目的は、切換面にない状態から切換面に収束させて、その面上に状態を保つことである。これを保証することは制御器の設計にかかっている。ここでは、式(1)に示す\(m\)個の入力を有する線形な系 […]
14. 高松塚古墳と金峯山寺
奈良へ小旅行した。これまで、東大寺、興福寺、薬師寺などを参拝したことがある。今回は、1泊2日で吉野の金峯山寺を目指した。初日は、橿原神宮（写真１）を参拝して大和八木駅周辺のホテルで宿泊すれば良いと考えていたが、時間が余っ […]
9. 切換超平面の設計（3）
周波数整形による切換超平面の設計法 スライディングモード制御（SMC: Sliding Mode Control）は、システムのパラメータ変動や外乱に対して高いロバスト性（頑健性）を持つ非線形制御手法で、この制御法では、 […]