15. Poynting ベクトル

※Poynting ：ジョン・ヘンリー・ポインティングの名前から
※ベクトルの演算に関しては、21. 内積と外積（ベクトル解析）、22. ベクトルの微分積分（ベクトル解析）を参照願います。

エネルギーが空間をどう移動するかを記述するのが、ポインティングベクトルとエネルギー保存則（ポインティングの定理）である。ポインティングベクトルは、「電磁場が単位時間に単位面積を通り抜けるエネルギーの大きさ（パワー密度）とその方向」を表すベクトルである。この関係をマクスウェル方程式から導出する。
マクスウェル方程式の微分形は、$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \quad \cdots (1)\\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \; \quad \cdots (2) \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \; \quad \cdots (3)\\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \; \quad \cdots (4)$$である。
ここで、ある体積内の電荷が電界から受ける単位時間・単位体積あたりの仕事（パワー密度）は、電流密度\(\mathbf{J}\)と電界\(\mathbf{E}\)の内積で表される。$$P = \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \; \quad \cdots (5)$$\(\mathbf{J}\)の単位が\([A/m^2]\)、電界の単位が\([V/m]\)なので、\(P\)の単位は、\([V/m]\times[A/m^2] = [V \cdot A]/[m^3]=[W/m^3]\)となる。これは、\(P\)がパワー密度であることを示している。
式(4)より、$$\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \nabla \times \mathbf{H} -\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \; \quad \cdots (6)$$式(6)を式(5)に代入すると、$$\mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \; \quad \cdots (7)$$となる。ここで、ベクトル解析の公式より、$$\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) = \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H})$$なので、これを \(\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H})\) について解くと：$$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) = \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})$$となる。これを、式(7)に使い、さらに式(3)を代入すると、$$\mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} - \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} - \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})\\ \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) =0 \; \quad \cdots (8)$$が求まる。ここで、$$\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial B^2}{\partial t}$$また、$$\mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{\partial E^2}{\partial t}$$これらより、式(8)は、$$-\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) = \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2 \mu_0} B^2\right) + \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \; \quad \cdots (9)$$となる。これがポインティング定理の微分形式である。式(9)の左辺の\(\mathbf{E} \times \mathbf{H}\)が、空間を流れるエネルギーの流束密度を表しており、これをポインティングベクトル\(\mathbf{S}\)と定義する。$$\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \; \quad \cdots (10)$$式(9)が意味するのは、「ある地点から湧き出した（または吸い込まれた）エネルギー流束の散度 (\(\nabla \cdot \mathbf{S}\)) は、その場所の電磁エネルギーの減少率と、電荷が消費した仕事の合計に等しい」ということである。また、式(10)のポインティングベクトルが外積となっていることから、以下の2点が示唆される。
・\(\mathbf{E}\)と\(\mathbf{H}\)が直交して波として進むとき、エネルギーはその両方に垂直な方向（波の進む方向）に運ばれる。
・静電磁場（例えば直流回路の導線の周り）であっても、\(\mathbf{E}\)と \(\mathbf{H}\)が存在すれば、そこにはエネルギーの流れが空間にある。

ポインティングベクトル\(\mathbf{S}= \mathbf{E} \times \mathbf{H}\)の単位は、電界\(\mathbf{E}\)の単位が\([V/m]\)、磁界\(\mathbf{H}\)の単位が\([A/m]\)より、\([V/m]\times[A/m] = [V \cdot A]/[m^2]=[W/m^2]\)となる。これは「単位面積あたりを通過するパワー（仕事率）」を表している。
次に、式(8)の\(\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) =\nabla \cdot \mathbf{S}\)の単位は、\(\nabla\)演算子が空間微分(\(\nabla = \left ( \frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\))を行うため、その単位が\(1/[m]\) となることから、\([W/m^3]\)となる。つまり、\(\mathbf{S}\)自体が面を通過するエネルギーの勢い（ \([W/m^2]\) ）だったのに対し、その発散である\(\nabla \cdot \mathbf{S}\) は体積におけるエネルギーの収支\([W/m^3]\)を表している。
式(8)は各項を加算しているので、各項の単位も当然\([W/m^3]\)になるはずだが、念のため確認しておく。
式(8)の第１項\(\mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)の単位を考える。磁界\(\mathbf{H}\)の単位は、\([A/m]\)、磁束密度\(\mathbf{B}\)の単位は、\([T]=[Wb/m^2]\)、そして\([Wb] = [V\cdot s]\)。よって、\(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)の単位は、\([V/m^2]\)となる。以上より、式(8)第１項の単位は、\([A/m]\times[V/m^2]=[W/m^3]\)となる。
式(8)の第２項\(\mathbf{E} \cdot \frac{\partial D}{\partial t}\)の単位を考える。電界\(\mathbf{E}\)の単位は、\([V/m]\)、電束密度\(\mathbf{D}\)の単位は、\([C/m^2]\)なので、\(\frac{\partial D}{\partial t}\)は、\([C/(m^2 \cdot s)] = [A/m^2]\)となる。以上より、式(8)第２項の単位は、\([V/m] \times [A/m^2] = [W/m^3]\)となる。

式(9)において、左辺の\(-\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H})\)は、\(\nabla \cdot \mathbf{S}\)が湧き出しを意味しているので、それのマイナスは、外部からその場所へのエネルギーの流入となる。式(9)の右辺第１項の\(\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 +\frac{1}{2 \mu_0} B^2\right)\)は、電場と磁場として、その場所に蓄えられたエネルギーの時間的な増加率である。また、 右辺第２項の\(\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}\) は、その場所にある電荷が動かされて発生する「仕事率（パワー）」で、通常はジュール熱として消費される分を指す。
簡単にまとめると、「外から入ってきたエネルギー（左辺）」＝「場に蓄えられた分（第1項）」＋「熱として使われた分（第2項）」となる。