11-1. BJTのモデル

BJT（バイポーラトランジスタ）を使った回路の解析には、LTspiceなどの電子回路シミュレーションツールが欠かせない。LTspiceは、SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) という回路シミュレーションの基盤技術をベースに、Analog Devices社が無償で提供している高性能な電子回路シミュレータである。SPICEは汎用的なシミュレーションの「エンジン」であり、LTspiceはそのエンジンにグラフィカルインターフェース（回路図エディタ、波形ビューア）と、自社製品の部品モデルを組み込んだアプリケーションである。 SPICEで用いられるBJTのモデルは、主にEbers-MollモデルとGummel-Poonモデルの二つが基本となる。

BJTの物理構造と寄生素子

Ebers-Moll モデル（簡略モデル）

Ebers-Mollモデルは、BJTの基本的な直流（DC）動作を記述するための、最もシンプルな初期モデルである。基本的にトランジスタを２つのダイオードと２つの電流源の組み合わせで表現する。能動領域・飽和領域・逆動作領域を一つの式体系で連続的に表現できるのが特徴である。

\(I_{ES}，\; I_{CS}\)は，それぞれのダイオードの飽和電流である。\(V_T\)は熱電圧で、$$V_T = \frac{kT}{q}$$で表される。\(k\)：ボルツマン定数、\(T\)：絶対温度[K]、\(q\)：電子の電荷量で、\(V_T \approx 25.8 \;[\text{mV}]\)（300 K：室温 約27℃）である。
端子電流の基本式（NPN）は、$$I_C = \alpha_F I_{ES} \left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right) - I_{CS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right) \\ I_E = I_{ES} \left(e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}-1\right) - \alpha_R I_{CS}\left(e^{\frac{V_{BC}}{V_T}}-1\right) \\ I_B = I_E -I_C$$となる。

Gummel-Poon モデル（高精度モデル）

Gummel-Poonモデルは、Ebers-Mollモデルを拡張し、特にベース幅変調（アーリー効果）や高注入効果（ハイインジェクション効果）など、多くの非線形効果を組み込んだ高精度のモデルである。現代の回路シミュレーションでは、ほぼこのモデルが使用されている。特徴として以下が挙げられる。
・高精度： 広い動作範囲（低電流から高電流まで）で正確な直流（DC）特性と交流（AC）特性をシミュレーションできる。
・ベース電荷の概念： ベースに蓄積される電荷\(Q_B\)を中心にモデルが構成されており、この電荷の変化によって電流や容量を計算するため、過渡応答（トランジスタのスイッチング動作）のシミュレーション精度が向上している。

Gummel-Poon 直流モデル

この非理想ダイオード電流\(I_{BE}, \; I_{BC}\)は、$$I_{BE} = I_{SE}\left(e^{\frac{V_{BE}}{NE \cdot V_T}}-1\right) ,\quad I_{BC} = I_{SC}\left(e^{\frac{V_{BC}}{NC \cdot V_T}}-1\right)$$である。ここで，\(I_{SE}，\; I_{SC}\)は、それぞれB-E間、B-C間の洩れ飽和電流、また、\(NE，\;NC\)は、各接合における洩れ放射係数である。
また、理想ダイオード電流\(I_{CC}, \; I_{EC}\)は、$$I_{CC} = \frac{I_S}{q_b}\left(e^{\frac{V_{BE}}{NF \cdot V_T}}-1\right) , \quad I_{EC} = \frac{I_S}{q_b}\left(e^{\frac{V_{BC}}{NR \cdot V_T}}-1\right)$$で表す。ここで、 \(q_b\)はベース領域の電荷密度で、熱平衡状態でのベース電荷密度で規格化されたベース電荷密度\(q_b\)によって表される。高注入状態では、電流によってベース領域の少数キャリア数がそこでの多数キャリア数と同等もしくはそれ以上に増加するため、電荷中性を保つように多数キャリアも増加する。この多数キャリアの増加は、ベース領域の不純物濃度を増加させたことに等価であるため注入効率が低下し、その結果、コレクタ電流が減少する。つまり、電流利得の低下を、ベースに蓄積される実効的な電荷 \(q_b\)の増加に起因するものと考えている（高注入効果）。実際のベース領域の電荷密度は、熱平衡状態でのベース電荷密度で規格化されたベース電荷密度\(q_b\)によって表現されており、以下の式となっている。$$q_b = 1+q_e+q_c+q_{bF}+q_{bR}$$ \(q_e\)と\(q_c\)はアーリー効果、\(q_{bF}\)と\(q_{bR}\)が高注入効果を表している項である。

Gummel-Poon 大信号モデル

・\(V_D \leq V_{J}\)の場合：$$C_{JC} = \frac{C_{J0}}{(1-V_D/V_{J})^{MJC}}, \quad C_{JE} = \frac{C_{J0}}{(1-V_D/V_{J})^{MJE}}, \quad C_{JS} = \frac{C_{J0}}{(1-V_D/V_{J})^{MJS}}$$・\(V_D > V_J\)の場合：$$C_{JC} = \frac{C_{J0}}{(1 - FC)^{MJC}}\left\{1 + \frac{MJC(V_D - FC \cdot V_J)}{V_J(1 - FC)}\right\} \\ C_{JE} = \frac{C_{J0}}{(1 - FC)^{MJE}}\left\{1 + \frac{MJE(V_D - FC \cdot V_J)}{V_J(1 - FC)}\right\} \\ C_{JS} = \frac{C_{J0}}{(1 - FC)^{MJS}}\left\{1 + \frac{MJS(V_D - FC \cdot V_J)}{V_J(1 - FC)}\right\}$$また，B-E間、B-C間容量には上式の接合容量のほか、それぞれの間に拡散容量\(C_{DE}, \;C_{DC}\)が並列に加わる。拡散容量は接合に電流が流れたとき、ベース中性領域に蓄積される少数キャリアによる容量である。この少数キャリアによる蓄積電荷は、中性ベース領域の順動作(逆動作)キャリア走行時間とそこを流れるコレクタ電流(エミッタ電流)の積で表される。従って、拡散容量はこの蓄積電荷を各接合間電圧で微分することによって得られる。ここで、順、逆動作のキャリア走行時間（\(\tau_F,\; \tau_R\)）は、高注入状態では少数キャリア数の増加とともに大きくなるので、大信号モデルでは熱平衡状態の順、逆動作のキャリア走行時間（\(TF，\;TR\)）と規格化ベース電荷密度\(q_b\)との積で表される。
高注入状態を考慮した大信号モデルにおける実効的な順方向キャリア走行時間 \(\tau_F\)を表す式は以下となる。
・実効キャリア走行時間\(\tau_F\)：高注入状態でのベース走行時間の増加を、規格化ベース電荷 \(q_b\) を用いて表現する。コレクタ電流\(I_C\)を、理想的な電流\(I_{CC}\)と規格化ベース電荷 \(q_b\) の比で定義する。$$I_C = \frac{I_{CC}}{q_b}$$ここで、規格化ベース電荷\(q_b\)は、ベースに蓄積された実効的な電荷であり、ベース幅変調（アーリー効果）や高注入効果といった非理想的な現象によって増加する。$$\tau_F = TF \cdot \left(1 +XTF \cdot \exp\left(\frac{V_{BC}}{VTF \cdot V_T}\right) \cdot \left(\frac{I_C}{IS} \right)^{ITF} \right)$$ただし、この式の導出の出発点となる、ベースに蓄積される総電荷\(Q_b\)の中で、高注入が関わる実効的な順方向キャリア走行時間\(\tau_F\)は、規格化ベース電荷\(q_b\)を基準の走行時間\(TF\)で補正したものである。式\(\tau_F = \ldots\)は、以下のように解釈できる。$$\left( \begin{matrix} \text{実効的な} \\ \text{走行時間} \\ \tau_F \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \text{理想的な} \\ \text{走行時間} \\ \mathbf{TF} \end{matrix} \right) \times \left[ 1 + \left( \begin{matrix} \text{ベース幅変調} \\ \text{（アーリー効果）} \\ \text{による増加率} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} \text{高注入} \\ \text{による} \\ \text{増加率} \end{matrix} \right) \right]$$このように、実効的な走行時間\(\tau_F\)は、ベース電荷\(q_b\)の増加に起因する非理想的な現象のすべてを集約し、その効果を電流\(I_C\)と電圧\(V_{BC}\)の関数として表現している。シミュレータはこの\(\tau_F\)を使って \(C_{dE}\)を計算し、過渡解析の精度を確保している。
※解釈の式で和になっているのは、SPICEのモデル式（\(\tau_F\)の式）としては、各パラメータの役割を明確にするために加算的（和）な補正項として記述されているためである。理論式のように積としないのは、計算の安定性とパラメータフィッティングのしやすからとされている。（和）の近似による誤差は、実際の回路設計で特定のケース（超高周波動作など）で問題になる。

Gummel-Poon 小信号モデル

Gummel–Poonモデルのモデルパラメータ

パラメータの詳細は、Gummel-Poon_modelを参照してください。

カテゴリ	SPICE パラメータ	物理的意味
DC特性（電流利得・飽和）
基本電流・増幅	IS	エミッタ飽和電流（基準電流 \(I_S\)）
	BF	順方向最大電流利得（最大 \(\beta_F\)）
	NF	順方向理想度係数 \(n_f\)
	BR / NR	逆方向最大電流利得 / 理想度係数
非線形効果と抵抗
高注入効果	IKF	高注入による \(\beta\) 低下が始まるコレクタ電流 \(I_{KF}\)
アーリー効果	VA	アーリー電圧（ベース幅変調の記述）\(V_A\)
内部抵抗	RB	ベース抵抗 \(R_B\)
	RC	コレクタ抵抗 \(R_C\)
	RE	エミッタ抵抗 \(R_E\)
AC・過渡特性（容量と時間）
走行時間	TF / TR	順方向 / 逆方向ベース走行時間（Transit Time \(\tau_F, \tau_R\)）
空乏層容量（EB接合）	CJE	ゼロバイアス EB接合容量 \(C_{JE0}\)
	MJE / VJE	EB接合のグレーディング係数 \(m_{JE}\) / ビルトイン電位 \(V_{JE}\)
空乏層容量（CB接合）	CJC	ゼロバイアス CB接合容量 \(C_{JC0}\)
	MJC / VJC	CB接合のグレーディング係数 \(m_{JC}\) / ビルトイン電位 \(V_{JC}\)
ブレークダウン特性（耐圧）
降伏電圧	BVCBO	コレクタ・ベース間降伏電圧 \(BV_{CBO}\)
	BVEBO	エミッタ・ベース間降伏電圧 \(BV_{EBO}\)