30. 三角関数（複素関数）

\(\theta \in \mathbb{R}\)のとき、指数関数の定義から\(e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta\)（オイラーの公式）が成立する。この式の\(\theta\)に\(-\theta\)を代入すると、\(e^{-j \theta} = \cos \theta - j \sin \theta\)となる。従って、これら２つの式の和と差を考えると、$$\cos \theta=\frac{e^{j \theta} + e^{-j \theta}}{2} , \quad \sin \theta = \frac{e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j}$$を得る。
実数\(\theta\)の部分を複素数\(z\)に変えて、複素数の三角関数を定義する。

【例】
$$\cos j = \frac{e^{j \cdot j} + e^{-j \cdot j}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{e} + e \right) \\ \sin j = \frac{e^{j \cdot j} - e^{-j \cdot j}}{2j} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{e} +e\right) j$$である。 \(\sin j \notin \mathbb{R}\)からわかるように、複素三角関数は一般に実数とはかぎらない。また、\(\cos j > e/2 >1\)なので、実数の三角関数のように\(|\cos z| \leq 1, \quad |\sin z| \leq 1\)は成立しない。

【(2)の証明】
$$\sin^2 z = \left(\frac{e^{jz} - e^{-jz}}{2j}\right)^2 = - \frac{e^{2 j z} + e^{-2 j z} - 2}{4} \\ \cos^2 z = \left(\frac{e^{j z} + e^{-j z}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2 j z} + e^{-2 j z} + 2}{4}$$なので、$$\sin^2 z + \cos^2 z = \frac{-(e^{2 j z} + e^{-2 j z} - 2) + (e^{2 j z} + e^{-2 j z} + 2)}{4} = 1$$となる。

【(3)の証明】正弦の加法定理 \(\sin(z + w)\) の証明
三角関数の定義より、$$\sin(z + w) = \frac{e^{j(z + w)} - e^{-j(z + w)}}{2j}$$である。 一方、$$\sin z \cos w + \cos z \sin w = \left(\frac{e^{j z} - e^{-j z}}{2j}\right) \left(\frac{e^{j w} + e^{-j w}}{2}\right) + \left(\frac{e^{j z} + e^{-j z}}{2}\right) \left(\frac{e^{j w} - e^{-j w}}{2j}\right) \\ = \frac{1}{4j} \left[ (e^{j(z+w)} + e^{j(z - w)} - e^{j(-z+w)} - e^{j(-z - w)}) + (e^{j(z + w)} - e^{j(z -w)} + e^{j(-z+w)} - e^{j(-z - w)}) \right] \\ = \frac{1}{4j} \left[ 2 e^{j(z+w)} - 2 e^{j(-z - w)} \right] \\ = \frac{e^{j(z+w)} - e^{-j(z+w)}}{2j}$$となる。以上より、$$\sin(z + w) = \sin z \cos w + \cos z \sin w$$である。

複素三角関数は、その定義が指数関数に基づいているため、実数の三角関数で成り立つ加法定理をそのまま維持している。この性質は、実数関数の多くの性質が複素関数（解析関数）に拡張されることの典型的な例である。

【例】\(\sin z = 0\)の複素解を求める。
複素数の正弦関数 \(\sin z\)は、指数関数を用いて定義され$$\sin z = \frac{e^{j z} - e^{-j z}}{2j}$$なので、方程式 \(\sin z = 0\)は、この定義より、$$\frac{e^{j z} - e^{-j z}}{2j} = 0$$両辺に\(2 j\)をかけると、$$e^{j z} - e^{-j z} = 0 , \quad e^{j z} = e^{-j z}$$ここで、両辺に\(e^{j z}\)をかけると、$$(e^{j z})^2 = e^{-j z} \cdot e^{j z} , \quad e^{2 j z} = e^0 , \quad e^{2 j z} = 1 \\ e^{2 j z} = 1 = e^{2 j m \pi} \quad (m \in \mathbb{Z})$$よって、\(2 j z = 2 j m \pi \rightarrow z = m \pi \quad (m \in \mathbb{Z})\) である。つまり、複素数\(z\)における方程式\(\sin z = 0\)の解は、実数の場合と同じであり、\(\pi\) の整数倍となる。