13. 波動方程式

電磁波を考える上で参照となる、波動方程式についてまとめる。波動方程式は、振動現象 や 波の伝播 を記述する基本的な微分方程式であり、音波・電磁波・水面波・弦の振動 など多くの物理現象に適用される。
※数学部分に関しては、19. 偏微分方程式（微分方程式）を参考にしてください。

一般的な波動方程式の導出

波動方程式を導くために、基本的な例として 弦の横波（１次元の場合） を考える。

弦の微小部分の運動方程式

弦を$x$軸に沿って張り、弦の変位（たわみ）を$u(x,t)$とする。ここで、$u(x,t)$は位置$x$での時間$t$における弦の振幅（変位） である。
張力$T$を考え、微小区間 $[x, x + dx]$に働く力を考える。質量要素 は $dm = \rho dx$（密度 $\rho$ [kg/m] とする）。弦の両端に働く張力$T$の向きを考えると、$x$の位置での張力は$T_x = T \sin \theta$である。微小角度で近似すると、$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{\partial u}{\partial x}$となるので、$T_x \approx T \frac{\partial u}{\partial x}$である。$x + dx$では、同様に $$T_{x+dx} \approx T \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x+dx}$$ である。​よって、弦の微小区間に働く力の差（合力）は $$F = T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x+dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x} \right)$$ なので、微分の定義より、 $$F = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx$$ となる。
これに、ニュートンの運動方程式 を適用すると、 $$\rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} dx$$ 両辺を$dx$で割ると、式(1)の１次元の波動方程式 を得る。 $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \;\;\; \cdots (1)$$ ​さらに、波の速度 を $$c = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$$ と定義すると、式(2)の最も基本的な波動方程式が得られる。 $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\;\;\; \cdots (2)$$ ​​

３次元の波動方程式

波動方程式の一般形は、物理量$u(x, y, z, t)$が時間$t$と空間座標$(x, y, z)$に依存して変化することを示す。 $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2$$ ここで$u(x,y,z,t)$ は振幅（音圧、電場、変位など）、$c$は波の速度、$\nabla^2$は ラプラス演算子で、3次元では $$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ である。
※ラプラス演算子（ラプラシアン）に関しては、19. 偏微分方程式（微分方程式）を参考にしてください。
従って、3次元の波動方程式は $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$$ である。

3次元の媒質中の波の伝播

波動方程式の導出として3次元の媒質中の波の伝播 を考える。
密度$\rho$の媒質の中で、圧力分布 $p(x, y, z, t)$による力のバランスを考える。媒質の微小体積要素 $dV = dx\, dy\, dz$に働く力は、圧力の勾配（圧力変化の空間微分）によって決まる。質量要素$dm = \rho dV$に対し、圧力$p(x,y,z,t)$の変化による運動方程式は $$\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = - \nabla p \;\;\; \cdots (3)$$ である。各点における媒質粒子の速度を速度場$v(x,y,z,t)$とすると、圧力$p(x,y,z,t)$による力は、圧力の勾配によって決まり、 $$\mathbf{F}=−\nabla p$$ で、成分ごとに書くと、 $$F_x = -\frac{\partial p}{\partial x}, \quad F_y = -\frac{\partial p}{\partial y}, \quad F_z = -\frac{\partial p}{\partial z}$$ である。従って、微小体積 $dV$に働く力 $dF_x$は、 $$dF_x = -\frac{\partial p}{\partial x} dV$$ である。$y,\;z$方向も同様に考えて $$d\mathbf{F} = -\left(\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}\right)dV= -\nabla p dx\,dy\,dz$$ である。質量要素$dm$の運動方程式（$F = ma$）を適用すると、 $$dm\frac{\partial v}{\partial t} = d \mathbf{F}$$ $dm=\rho dV= \rho dxdydz$なので、運動方程式は、 $$\rho \frac{\partial v}{\partial t} dx\, dy\, dz = - \nabla p dx\, dy\, dz$$ ここで、勾配ベクトル$\nabla p$を用いると、全体の運動方程式は $$\rho \frac{\partial v}{\partial t} = - \nabla p$$ となる。これが式(3)である。これを書き下すと、 $$\rho \frac{\partial v_x}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} ,\quad \rho \frac{\partial v_y}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial y} ,\quad \rho \frac{\partial v_z}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial z} \;\;\;\cdots (4)$$

一方、流体における質量保存則は、密度 $\rho$と速度場 $\mathbf{v}$に関する連続の式として表される。 $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$ 非圧縮性流体の場合は $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$となるが、圧縮性流体を考える場合、密度の時間変化を考慮する必要がある。小さな圧力変化を考える場合、密度 $\rho$は平衡密度$\rho_0$からの微小な摂動として表せる。$\rho = \rho_0 + \rho'$ここで、$\rho'$は小さい摂動量である。流体の密度変化は体積弾性率$K$を用いて$\rho' = \frac{p'}{K}$で表される。ここで、体積弾性率 $K$は、密度変化と圧力変化の関係を表す量で、次のように定義される。 $$K = - V \frac{dP}{dV}$$ または、密度変化に関して表すと、 $$K = \rho_0 \frac{dP}{d\rho}$$ 小さな圧力変化$p'$に対する密度の変化 $\rho'$を考えると $$\rho' = \frac{p'}{K}$$ なので、密度の時間変化は、 $$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\rho_0}{K} \frac{\partial p}{\partial t}$$ ​と表せる。
連続の式で密度変化が小さい場合、$\rho \approx \rho_0$ と近似できるので、 $$\frac{\rho_0}{K} \frac{\partial p}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot \mathbf{v} = 0$$ これを変形すると、 $$\frac{\partial p}{\partial t} = -K \nabla \cdot \mathbf{v}$$ これが圧力と速度の関係式である。
両辺をさらに時間微分すると、 $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = -K \frac{\partial}{\partial t}\nabla \cdot \mathbf{v} = -K\left(\frac{\partial^2 v_x}{\partial t \partial x} + \frac{\partial^2 v_y}{\partial t \partial y} +\frac{\partial^2 v_z}{\partial t \partial z} \right)$$ となる。​これに式(4)の関係を適用すると、 $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} =\frac{K}{\rho}\left(\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 p}{\partial z^2} \right) \\ = \frac{K}{\rho} \nabla^2 p$$ となる。ここで、 $$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$ を音速とすると、３次元の波動方程式 $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p$$ が得られる。