6-2. ラプラス変換（アプリの利用）
tctyamラプラス変換は工学、特に電気電子工学、制御工学、信号処理の分野において、強力な数学的ツールである。その最大の効用は、「微分方程式の解法を、代数方程式の解法に置き換える」ことによって、複雑な時間応答解析を容易にすることである。工学における主な効用は以下の3点である。
１）動的システムの解析の簡略化：ラプラス変換は、時間領域の関数 \(f(t)\)を複素周波数領域の関数\(F(s)\)に変換する。$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$これにより、時間領域の微分操作\(\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0)\)が、\(s\)という変数との乗算に変換される（初期値 \(f(0)\)を考慮すること）。 これにより、システムを記述する線形微分方程式が、代数方程式に変換され、解くのが簡単になる。
２）伝達関数によるシステムの挙動の理解と設計：ラプラス変換は、システムの入出力特性を表現する伝達関数という概念を生み出す。システムの入力 \(U(s)\)と出力\(Y(s)\)の比として、システムそのものの特性を記述する伝達関数\(G(s)\)が定義できる。$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$この伝達関数 \(G(s)\)の極や零点の位置を複素平面（\(s\)平面）に図示することで、システムの安定性、応答速度、振動の有無といった動的特性が視覚的かつ直感的に把握できる。さらにシステムの安定性（極が\(s\)平面の左半面に存在すること）を分析することで、必要に応じて制御器を設計し、システムの応答を目標とする性能（速さ、オーバーシュートの少なさなど）に改善することができる。
３）周波数応答特性：ラプラス変換における複素変数\(s\)を純虚数 \(j\omega\)に置き換える（\(s \to j\omega\)）ことで、システムが特定の周波数\(\omega\)の信号に対してどのように応答するか（ゲインと位相）を知ることができ、周波数全体の応答特性を把握して、制御器設計やフィルタ設計が系統的に行える。
ラプラス変換を実務上効率的に行うことや学習の手助けとするためには、手軽にラプラス変換を行える、オンラインの計算機やスマートフォンアプリが適している。勿論、ラプラス変換の基本を修得しておくことが前提である。また、PythonのSymPyライブラリの記号計算機能でラプラス変換を行うこともできる。
Pythonによるラプラス変換
Pythonでラプラス変換（\(\mathcal{L}\) 変換）を解析的に行うには、SymPyライブラリの記号計算機能を使用する。これにより、解析的な数式操作を数式として処理できる。以下にスクリプトの例を示す。
import sympy
# ラプラス変換を行うための関数と、記号変数の定義
from sympy.integrals.transforms import laplace_transform
from sympy.abc import t, s, a, w # t, s, a, w を SymPy の記号として定義
def calculate_laplace_transform(f_t):
"""
与えられた関数 f(t) のラプラス変換 F(s) を計算する関数。
"""
# laplace_transform(f(t), t, s) は (F(s), a, cond) を返す
# F(s) のみを取得
F_s, _, _ = laplace_transform(f_t, t, s)
return F_s
# --- 実行例 ---
# 1. 単位ステップ関数 u(t): f(t) = 1 (t >= 0)
f1_t = 1
F1_s = calculate_laplace_transform(f1_t)
# 2. 指数関数: f(t) = e^(-at)
f2_t = sympy.exp(-a * t)
F2_s = calculate_laplace_transform(f2_t)
# 3. 傾斜関数: f(t) = t
f3_t = t
F3_s = calculate_laplace_transform(f3_t)
# 4. 正弦波関数: f(t) = sin(wt)
f4_t = sympy.sin(w * t)
F4_s = calculate_laplace_transform(f4_t)
# 5. 複数の項を持つ関数: f(t) = 3e^(-2t) + 5t^2
# 具体的な値で計算
f5_t = 3 * sympy.exp(-2 * t) + 5 * t**2
F5_s = calculate_laplace_transform(f5_t)
# --- 結果の表示 ---
print("--- SymPyによるラプラス変換の結果 ---")
print(f"1. f(t) = {f1_t} => F(s) = {F1_s}")
print(f"2. f(t) = {f2_t} => F(s) = {F2_s}")
print(f"3. f(t) = {f3_t} => F(s) = {F3_s}")
print(f"4. f(t) = {f4_t} => F(s) = {F4_s}")
print(f"5. f(t) = {f5_t} => F(s) = {F5_s}")
実行結果は、図１のようになる。
Mathos AI ラプラス変換計算機
Mathos AIは、数学の問題を解き、関連する概念を学習できるように設計されたAIを活用した数学ソルバーである。以下に実行例を示す。
質問：\(y′(t)+3y(t)=e^{2t}\)を初期条件\(y(0)=1\)のもとでラプラス変換を用いて解け。
解答：We start with the differential equation$$y'(t) + 3y(t) = e^{2t},\quad y(0)=1.$$Step 1. Take the Laplace transform of both sides. Recall that$$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s)-y(0)$$and$$\mathcal{L}\{e^{2t}\} = \frac{1}{s-2}.$$Thus, we have$$sY(s) - 1 + 3Y(s) = \frac{1}{s-2}.$$Step 2. Combine the terms involving \(Y(s)\):$$(s+3)Y(s) = \frac{1}{s-2} + 1.$$Step 3. Write the right-hand side with a common denominator:$$\frac{1}{s-2} + 1 = \frac{1 + (s-2)}{s-2} = \frac{s-1}{s-2}.$$Thus, the equation becomes$$(s+3)Y(s) = \frac{s-1}{s-2}.$$Step 4. Solve for \(Y(s)\):$$Y(s) = \frac{s-1}{(s-2)(s+3)}.$$Step 5. Perform a partial fraction decomposition. Write$$\frac{s-1}{(s-2)(s+3)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+3}.$$Multiplying both sides by \((s-2)(s+3)\), we get$$s-1 = A(s+3) +B(s-2).$$Expanding the right side:$$s-1 = A s + 3A + B s - 2B = (A+B)s + (3A-2B).$$Matching the coefficients gives:$$\begin{cases}A+B=1,\\ 3A-2B=-1.\end{cases}$$Solve for \(A\)and \(B\):$$A = 1-B,$$substitute into the second equation:$$3(1-B)-2B = -1 \quad \Longrightarrow \quad 3-3B-2B = -1 \quad \Longrightarrow \quad 3-5B=-1.$$Thus,$$5B = 4 \quad \Longrightarrow \quad B=\frac{4}{5}.$$Then,$$A = 1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.$$Step 6. Write \(Y(s)\) in partial fractions:$$Y(s)= \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-2} + \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{s+3}.$$Step 7. Take the inverse Laplace transform to find \(y(t)\):$$y(t)=\frac{1}{5}e^{2t}+\frac{4}{5}e^{-3t}.$$Thus, the solution to the initial value problem is$$y(t)=\frac{1}{5}e^{2t}+\frac{4}{5}e^{-3t}.$$
以上のように解答過程も丁寧に解説してくれるので、学習には便利である。
導ツールです
