38. べき級数展開（複素関数）

べき級数展開は、複素関数論における正則関数の解析的な性質と密接に結びついており、実関数の定積分を計算する際に強力なツールとなる。
例えば、高階導関数の公式$$f^{(n)}(\alpha) = \frac{n!}{2 \pi j} \oint_C \frac{f(z)}{(z - \alpha)^{n+1}}dz$$により、正則関数 \(f(z)\)はその領域内の任意の点\(\alpha\)の周りで、必ず収束するべき級数（テイラー級数）に展開できることが証明される。$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - \alpha)^n$$ここで\(a_n = \frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}\)である。つまり、複素関数が正則であることと、べき級数展開可能であることが同値であることが保証される。

【証明】
絶対値の級数の部分和を$$S_N' = \sum_{n=0}^{N} |a_n|$$とおく。\(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\)が収束するということは、部分和の数列\(\{S_N'\}_{N=0}^\infty\)が収束する。
数列\(\{S_N'\}\)が収束することから、任意の\(\epsilon > 0\)に対して、ある自然数\(N_0\)が存在し、 \(M > N \ge N_0\)を満たす任意の自然数 \(N, M\)に対して、次の条件が成り立つ。$$|S_M' - S_N'| < \epsilon$$ここで、\(S_M' - S_N'\)を書き下すと、$$S_M' - S_N' = \sum_{n=0}^{M} |a_n| - \sum_{n=0}^{N} |a_n| = \sum_{n=N+1}^{M} |a_n|$$従って、絶対値の級数に関するコーシー条件は、$$\sum_{n=N+1}^{M} |a_n| < \epsilon \quad \text{for all } M > N \ge N_0$$となる。
元の級数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)の部分和を\(S_N\)とおく$$S_N = \sum_{n=0}^{N} a_n$$元の級数が収束することを示すには、部分和の数列\(\{S_N\}\)がコーシー列であることを示せば十分である（複素数体 \(\mathbb{C}\)は完備であるため）。\(M > N \ge N_0\)となる任意の\(N, M\)について、差\(|S_M - S_N|\)を評価する。$$|S_M - S_N| = \left| \sum_{n=0}^{M} a_n - \sum_{n=0}^{N} a_n \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{M} a_n \right|$$ここで、三角不等式（和の絶対値は絶対値の和以下である）を用いる。$$\left| \sum_{n=N+1}^{M} a_n \right| \le \sum_{n=N+1}^{M} |a_n|$$絶対値の級数のコーシー条件を適用すると、$$\sum_{n=N+1}^{M} |a_n| < \epsilon$$従って、$$|S_M - S_N| < \epsilon \quad \text{for all } M > N \ge N_0$$任意の\(\epsilon > 0\)に対して、\(|S_M - S_N| < \epsilon\)を満たす自然数\(N_0\)が存在することが示された。これは、数列\(\{S_N\}\)がコーシー列であることを意味し、複素数体 $\mathbb{C}$ は完備であるため、コーシー列は必ず収束する。よって、部分和の数列\(\{S_N\}\)は収束し、元の級数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)は収束する。

テイラー展開

【証明（概要）】
\(z_0 \in (C の内部)\)を任意にとる。いま\(z \in C\)と仮定すると、\(|\frac{z_0 - \alpha}{z - \alpha} | < 1\)が成立する。従って、$$\frac{f(z)}{z - z_0} = \frac{f(z)}{(z - \alpha) - (z_0 - \alpha)} =\frac{f(z)}{z - \alpha} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z_0 - \alpha}{z - \alpha}} = \frac{f(z)}{z - \alpha} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z_0 - \alpha}{z - \alpha}\right)^n$$と表せる。さらに、積分公式より、$$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi j}\int_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \frac{1}{2 \pi j} \int_C \left\{\sum_{n=0}^\infty \frac{f(z)}{(z - \alpha)^{n+1}} (z_0 - \alpha)^n \right\}dz \\ = \sum_{n=0}^\infty (z_0 - \alpha)^n \left(\frac{1}{2 \pi j} \int_C \frac{f(z)}{(z- \alpha)^{n+1}}dz \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (\alpha)}{n!}(z_0 - \alpha)^n$$となる。
※連続関数列\(\{g_n\}\)による無限級数\(\sum g_n(z)\)は、一様収束していれば項別積分可能である。すなわち、\(\int \sum g_n(z)dz = \sum \int g_n(z) dz\)と積分と無限和の順序を交換できる。

【べき級数展開の例】任意の\(z \in \mathbb{C}\)に対して以下が成り立つ。
$$e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \cdots, \quad \sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots, \quad \cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots $$
【オイラーの公式】
等式\(e^z = 1+ z + z^2/2! + \cdots\)の右辺が必ず収束することから、「指数関数を右辺の級数で定義する」こともできる。この定義により、\(z = j \theta \;(\theta \in \mathbb{R})\)を代入したオイラーの公式$$e^{j \theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(j \theta)^n}{n!} = \cos \theta + j \sin \theta$$は、「定義から導かれた等式」となる。

【例】\(f(z) = \frac{1}{z - 2j}\)を１）\(z=0\) 、２）\(z=j\)の点を中心に展開する。
１）\(z=0\)の場合：\(f(z)\)を次のように変形する。$$f(z) = \frac{1}{-2 j}\cdot \frac{1}{1 - \frac{z}{2 j}}$$よって、\(\left|\frac{z}{2 j}\right| < 1\)のとき、つまり、\(|z|<2\)のとき、$$f(z) = \frac{1}{-2 j}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2j}\right)^n = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2j)^{n+1}}z^n \quad (|z|<2)$$収束半径は２。

２）\(z=j\)の場合：\(f(z)\)を次のように変形する。$$f(z) = \frac{1}{(z - j) - j} = \frac{1}{-j} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z - j}{j}}$$よって、\(\left|\frac{z - j}{j} \right| <1\)のとき、つまり、\(|z - j |<1\)のとき、$$f(z) = \frac{1}{-j}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - j}{j}\right)^n = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{j^{n+1}}(z - j)^n \quad (|z - j|<1)$$収束半径は１。

※（収束半径）級数\(\sum a_n(z - \alpha)^n\)の収束半径とは、級数が\(|z - \alpha|<R\)のとき収束し、かつ、\(|z - \alpha|>R\)のとき発散するような\(R\)をいう。

テイラー展開の拡張

テイラー展開で、$$\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!} + \frac{z}{3!} + \cdots $$といった級数も想定できるが、これらの式の左辺は\(z=0\)で定義できないし、右辺も\(z \to 0\)で発散してしまう。そこで、発散しそうなところ（この場合は\(z=0\)）のまわりをくりぬいた円環領域での収束を考える。