35. コーシーの積分定理（複素関数）

まず、複素線積分を計算可能な積分に置き換えることを考える。

複素関数\(f(z)\)および曲線\(C\)上の微小変位\(dz\)を、実部と虚部に分解する。 ここで、\(z = x + j y\)とする。\(f(z) = u(x, y) + j v(x, y)\) （\(u,\;v\)は実数関数） また、 曲線 \(C\)上の微小変位\(dz\)は、\(dz = dx + j dy\)である。
複素線積分\(\int_C f(z) dz\)は、リーマン和の極限として、次のように定義される。
$$\int_C f(z) dz = \lim_{|\Delta z_k| \to 0} \sum_{k=1}^n f(\zeta_k) \Delta z_k $$ここで、 \(\Delta z_k = \Delta x_k + j \Delta y_k\) 。 被積分項 \(f(z) dz\)を展開すると、$$f(z) dz = (u + j v)(dx + j dy) \\ = (u dx + j u dy + j v dx + j^2 v dy) \\ = (u dx - v dy) + j (v dx + u dy) $$従って、複素線積分の定義は、2つの実数線積分の和として表される。$$\int_C f(z) dz = \int_C (u dx - v dy) + j \int_C (v dx + u dy) \quad \cdots (1)$$式 (1) の右辺にある2つの実数線積分を、曲線\(C\)のパラメータ表示\(z(t) = x(t) + j y(t)\)を使って\(t\)の積分に変換する。 曲線 \(C\)が\(z(t) = x(t) + j y(t) \quad (a \leq t \leq b)\) で与えられるとき、 \(dx = x'(t) dt \quad \text{および} \quad dy = y'(t) dt\)よって、$$\int_C (u dx - v dy) = \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} - v(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} \right] dt \quad \cdots (2)$$また、$$\int_C (v dx + u dy) = \int_a^b \left[ v(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} + u(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} \right] dt \quad \cdots (3)$$となる。
式 (1) に式 (2) と (3) を代入し、結合する。$$\int_C f(z) dz = \int_a^b \left[ u \frac{dx}{dt} - v \frac{dy}{dt} \right] dt + j \int_a^b \left[ v \frac{dx}{dt} + u \frac{dy}{dt} \right] dt $$両者を一つの\(t\)の積分にまとめる。 $$\int_C f(z) dz = \int_a^b \left[ \left( u \frac{dx}{dt} - v \frac{dy}{dt} \right) + j \left( v \frac{dx}{dt} + u \frac{dy}{dt} \right) \right] dt $$ここで、被積分関数の中身を展開して整理する。 $$\left( u \frac{dx}{dt} + j u \frac{dy}{dt} \right) + \left( j v \frac{dx}{dt} + j^2 v \frac{dy}{dt} \right) \\ = u \left( \frac{dx}{dt} + j \frac{dy}{dt} \right) + j v \left( \frac{dx}{dt} + j \frac{dy}{dt} \right)$$ここで、曲線\(z(t)\)の微分\(z'(t)\)は、$$z'(t) = \frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} + j \frac{dy}{dt}$$これを利用して、共通因子\(\left( \frac{dx}{dt} + j \frac{dy}{dt} \right)\)でくくると、$$= (u + j v) \left( \frac{dx}{dt} + j \frac{dy}{dt} \right) \\ = f(z(t)) \cdot z'(t) $$従って、求める複素線積分の定義式が得られる。 $$\int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) \cdot z'(t) dt $$

【具体例１】関数を\(f(z) = z^2\) として、曲線\(C : z = z(t) = t + j t \quad (0 \leq t \leq 1)\) に沿った複素線積分を計算する。

複素線積分は、次の式で計算される。$$\int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt$$ 複素関数と経路は、\(f(z)=z^2,\quad z(t) = t + j t =t(1+j)\) $$z'(t) = \frac{dz}{dt} = 1 + j \\ f(z(t)) = (t + j t)^2 = (t(1+j))^2 = t^2 (1+j)^2 = t^2 (1 + 2j - 1) = 2j t^2 \\ \int_C f(z) dz = \int_0^1 (2j t^2) (1 + j) dt \\ = \int_0^1 (2j + 2j^2) t^2 dt = \int_0^1 (2j - 2) t^2 dt \\ = (2j - 2) \int_0^1 t^2 dt = (2j - 2) \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 \\ = (2j - 2) \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{-2+2j}{3}$$

【具体例２】複素数\(\alpha\)を中心とする半径\(r > 0\)の円を$$C(\alpha, r) :=\left\{z(t) = \alpha + re^{j t} \quad | 0 \leq t \leq 2\pi \right\}$$によって定める。向きは反時計回り（左回り、\(t\)の増加方向）である。このとき、以下が成り立つ。
\(m \in \mathbb{Z}, \quad C=C(\alpha,\;r)\)とするとき、\(r > 0\)の値によらず$$\int_C (z - \alpha)^m dz =\begin{cases} 0 & (m \neq -1) \\ 2\pi j & (m = -1) \end{cases}$$

\(z(t) = \alpha + re^{jt}\)より、\(z'(t)=jre^{jt}\)よって、$$\int_C (z - \alpha)^m dz = \int_0^{2\pi} (re^{jt})^m \cdot (jre^{jt}) dt = jr^{m+1} \int_0^{2\pi} e^{j(m+1)t} dt \\ = \begin{cases} jr^{m+1} \left[\frac{1}{(m+1)j} e^{j(m+1)t}\right]_0^{2\pi} & = 0 & (m \neq -1) \\ j\int_0^{2\pi} 1 \cdot dt & =2\pi j & (m=-1) \end{cases}$$

複素積分の基本性質

積分経路の曲線について以下の記号を導入する。
・\(C_1,\quad C_2\)を滑らかな曲線とするとき、\(C_1\)に沿って進んだ後、さらに\(C_2\)に沿って進む経路を\(C_1 + C_2\)で表す。
・曲線\(C\)が区分的に滑らかであるとは、\(C\)が有限個の滑らかな曲線\(C_1,C_2,\ldots,C_N\)を順に繋ぎ合わせたものになっているときをいい、\(C=C_1 + C_2 + \cdots +C_N\)と表す。
・区分的に滑らかな曲線\(C\)にたいし、これを逆に進む曲線を\(-C\)と表す。

【(4)の証明（概略）】\(C\)の任意の分割\(\Delta =\{z_k\}\)とその中間の点\(\{\zeta_k\}\)にたいし、そのリーマン和の絶対値について$$\left|\sum(f,\; \Delta)\right| = \left|\sum_k f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1})\right| \leq \sum_k |f(\zeta_k)||z_k - z_{k-1}| \\ \leq M \sum_k |z_k - z_{k-1}| \leq M l(C)$$が成り立つ。この評価式はすべての分割について成立するので、\(\delta(\Delta) \to 0\)とした極限をとることで(4) を得る。ここで、最初の不等号は三角不等式を用いており、また右端の不等号は分割により\(C\)を折れ線近似した長さと\(C\) の長さを比較したものとなっている。
※厳密な証明とはなっていないことに注意。

コーシーの積分定理