29. 複素数べき（複素関数）
tctyam複素数べき（複素数の複素数乗）：複素数\(z \neq 0\)と複素数\(w\)にたいし、「\(z\)の\(w\)乗」を$$z^w := e^{w \log z}$$と定義する。ただし、\(\log z\)は複素数の対数であり、取りうるすべての値を考える。結果として\(z^w\)も一般には無限個もしくは有限個の複素数となる（多価関数）。
\(z^w\)の計算
\(z^w\)の定義\(e^{w \log z}\)に、\(\log z\) の無限個の値を代入すると、 \(z^w\)の値も一般に無限に多くなる（複素数べきの多価性）。
\(w\)を\(w = u + j v \;\;（u, v \in \mathbb{R}）\)とすると、$$z^w = e^{(u + jv) [\log|z| + j(\theta + 2n\pi)]}$$（ただし、\(\theta\) は \(z\)の主偏角 \(\text{Arg}(z)\)）
この式全体を指数関数の定義に従って計算することで、各\(n\) に対応する\(z^w\)の値が得られる。
複素数の対数\(\log z\)
\(z\) の対数 \(\log z\) は、一般に次の無限個の値を取る。$$ \log z = \log|z| + j (\arg(z) + 2n\pi) \\
(n \in \mathbb{Z})$$
複素数の指数関数 \(e^v\)
任意の複素数 \(v = x + j y\) に対し、指数関数 \(e^v\) は次のように定義される。$$e^v = e^{x+j y} = e^x (\cos y + j \sin y)$$
【例】\((-1)^j\)の計算
定義より、$$(-1)^j := e^{j \log(-1)} = e^{j(2n+1)\pi j} \\ = e^{-(2n+1)\pi} \quad (n \in \mathbb{Z})$$
これは\(\ldots , e^{-3\pi}, e^{-\pi}, e^{\pi}, e^{3\pi}, e^{5\pi},\ldots\) で得られる無限個の正の実数である。
【例】１の複素べき（「実数乗」だと\(1^{1/3}=1\)である）
$$1^{1/3} = e^{(1/3) \log 1} = e^{(1/3)j 2n\pi} \\=e^{j 2 \pi n /3} = 1, e^{j 2\pi /3}, e^{j 4\pi/3} \quad (n \in \mathbb{Z})$$のように１の３乗根となる。
一般に、\(z \neq 0\)の複素べき\(z^{1/N} \; \; (N \in \mathbb{N})\)は\(z\)の\(N\)乗根のすべてを与える。
【例】\(j^j\)（虚数単位の虚数乗）の計算
\( \log(i)\)を求める。\(|j| = 1\)また、\(\arg(j) = \frac{\pi}{2}\)なので、$$\log j = \log|j| + j (\arg(j) + 2n\pi) \\ \log j = \log 1 + j \left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) \\ \log j = j \left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi \quad (n \in \mathbb{Z})$$ \(z^w = e^{w \log(z)}\) に代入する。\(z=j、w=j\) を代入する。$$j^j = e^{j \cdot \log(j)} \\ j^j = e^{j \cdot j (2n + \frac{1}{2})\pi} \\ j^j = e^{- (2n + \frac{1}{2})\pi} \quad (n \in \mathbb{Z})$$となる。
\(j^j\)は実数となり、その主値は、\(j^j = e^{-\pi/2} \approx 0.20788\)となる。
このように複素数べきは、一般には複素数であるが、特定の場合には実数の値を取ることがある。
