37. コーシーの積分公式（複素関数）
コーシーの積分定理と同じ仮定の下で、コーシーの積分公式が成立する。 【証明（概要）】証明したい積分を\(I\)とする。 $$I = \int_C \frac{f(z)}{z - \alpha} dz$$点\(\alpha […]
36. 積分定理の応用と証明（複素関数）
【証明（概要）】・\(\alpha\)が\(C\)の外部にあるとき：関数\(f(z) = \frac{1}{z - \alpha}\)は、曲線\(C\)およびその内部を含む領域\(D\)で正則である。特異点\(\alph […]
35. コーシーの積分定理（複素関数）
まず、複素線積分を計算可能な積分に置き換えることを考える。 複素関数\(f(z)\)および曲線\(C\)上の微小変位\(dz\)を、実部と虚部に分解する。 ここで、\(z = x + j y\)とする。\(f(z) = […]
34. 複素線積分（複素関数）
複素線積分においてコーシー・リーマンの定理が重要である。コーシー・リーマンの定理は、関数が正則（複素微分可能）であるための必要十分条件を与え、複素関数論の主要な成果は、この「正則性」という性質に大きく依存する。 リーマン […]
33. コーシー・リーマンの定理（複素関数）
まず、導関数（複素関数）の公式をまとめておく。 公式 ４）合成関数の微分法則の証明（概略）：\(h(z) = g(f(z))\)とおく。\(h(z)\)の微分\(h'(z)\)は、微分の定義により次の極限として与えられる […]
32. 複素関数の微分（複素関数）
実関数における「微分」の役割は、関数のグラフを接線（1 次関数）で近似することで各点における関数の局所的な変化を表現するものである。複素関数の場合も同様で、関数はある点をある点に写すことになるのだが、その局所的な作用を1 […]
31. 関数の極限と連続性（複素関数）
複素関数の極限は、実数関数の極限と基本的な考え方は同じであるが、複素数特有の性質があるため、より厳密な理解が必要である。 ※ (1)の\(|z - \alpha| \rightarrow 0\)は実数の意味なので、実数と […]
30. 三角関数（複素関数）
\(\theta \in \mathbb{R}\)のとき、指数関数の定義から\(e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta\)（オイラーの公式）が成立する。この式の\(\thet […]
29. 複素数べき（複素関数）
複素数べき（複素数の複素数乗）：複素数\(z \neq 0\)と複素数\(w\)にたいし、「\(z\)の\(w\)乗」を$$z^w := e^{w \log z}$$と定義する。ただし、\(\log z\)は複素数の対数 […]
28. 指数・対数関数（複素関数）
指数関数の像 実数の指数関数 \(f(x) = e^x\)の場合、入力（定義域）は１次元の実数直線、出力（値域）も１次元の実数直線なので、入力を横軸、出力を縦軸にとることで２次元のグラフとして描くことができる。しかし、複 […]