25. 三角関数の公式

電気回路、計測工学、制御工学でよく現れる三角関数の公式について、オイラーの公式を使った導出法を中心にしてまとめる。
※オイラーの公式をこのように利用するのは数学的には適切ではないかもしれないが、各種公式の導出が楽になる。

オイラーの公式

オイラーの公式は、$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$である。
証明の概要：
指数関数、余弦関数、正弦関数のマクローリン展開（ベキ級数展開）は、それぞれ以下となる。$$e^\theta = 1+ \frac{\theta}{1!} + \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} + \cdots $$ $$\cos \theta = 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \cdots$$ $$\sin \theta = \theta - \frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} + \cdots $$ 指数関数のマクローリン展開において\(\theta = j \theta\)と置き換え、実部と虚部に分けて整理すると以下のようになる。$$e^{j \theta} = 1+ \frac{j \theta}{1!} + \frac{ (j\theta) ^2}{2!} + \frac{(j\theta) ^3}{3!} + \frac{(j\theta)^4}{4!} + \frac{(j\theta)^5}{5!} \cdots \\ = 1+ \frac{j \theta}{1!} - \frac{ \theta ^2}{2!} - \frac{j\theta ^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{j\theta^5}{5!} + \cdots \\ = \left( 1 - \frac{ \theta ^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots \right) + j \left( \theta - \frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right) \\ \\ = \cos \theta + j \sin \theta$$指数関数のベキ級数展開 \(e^\theta\)において\(\theta\)を\(j \theta\)に置き換えた式を\(e^ {j \theta}\)の定義とすることで、オイラーの公式が導かれることになる。

オイラーの公式による三角関数の指数関数表現

$$e^{j \theta} + e^{-j \theta} = \left( \cos \theta + j \sin \theta \right) + \left( \cos \theta - j \sin \theta \right) = 2 \cos \theta$$よって、$$ \cos \theta = \frac{e^{j \theta} + e^{-j \theta}}{2}$$となる。
$$e^{j \theta} - e^{-j \theta} = \left( \cos \theta + j \sin \theta \right) - \left( \cos \theta - j \sin \theta \right) = 2 j \sin \theta$$よって、$$ \sin \theta = \frac{e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j}$$となる。

三角関数の加法定理

オイラーの公式を使って、加法定理を導出する。
$$e^{j(\alpha + \beta)} = \cos(\alpha + \beta) + j\sin(\alpha + \beta) \;\;\; \cdots (1)$$　また、$$e^{j(\alpha + \beta)} = e^{j\alpha}e^{j\beta} \\ = (\cos \alpha + j \sin \alpha)(\cos \beta + j \sin \beta) \\ = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + j (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \;\;\; \cdots (2)$$である。
式(1)と式(2)の実部、虚部を比べると、$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$と分かる。\(e^{j(\alpha - \beta)}\)について同様の手順で、$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$が求まる。

倍角の公式

加法定理を使うと、$$\sin(2 \theta) = \sin(\theta + \theta) \\ = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta \\ = 2 \sin \theta \cos \theta$$となる。同様に、$$ \cos(2 \theta) =\cos(\theta + \theta) = \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta \\ = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$である。
オイラーの公式を使うと、$$e^{j2\theta} = \cos 2 \theta + j \sin 2 \theta \;\;\; \cdots (3)$$また、$$e^{j 2 \theta} = (e^{j \theta})^2 \\ = (\cos \theta + j \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + 2j \sin \theta \cos \theta - \sin^2 \theta \\ = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) + j(2 \sin \theta \cos \theta ) \;\;\; \cdots (4)$$式(3)と式(4)の実部、虚部を比べると$$\sin(2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \\ \cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$となる。

半角の公式

倍角の公式から$$ \cos(2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ = (1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \\ = \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2 \cos^2 \theta-1$$が求まるので、これを利用すると、$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2} \\ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2 \theta)}{2}$$となる。ここで、\(\theta = \alpha/2\)と置きなおすと、、$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \\ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$$となる。
また、$$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$$である。

３倍角の公式

$$e^{j 3\theta} = \cos 3 \theta + j \sin 3 \theta \;\;\; \cdots (5)$$ また、$$e^{j 3 \theta} = (e^{j \theta})^3 \\ = (\cos \theta + j \sin \theta)^3 = \cos^3 \theta + 3 j \cos^2 \theta \sin \theta - 3 \cos\theta \sin^2 \theta - j \sin^3 \theta \\ = (\cos^3 \theta - 3 \sin^2 \theta \cos \theta) + j(3 \sin \theta \cos^2 \theta - \sin^3 \theta) \\ = (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta) + j(3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta) \;\;\; \cdots(6)$$ 式(5)と式(6)の実部、虚部を比べると$$ \sin 3 \theta = 3\sin \theta - 4 \sin^3 \theta \\ \cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$$となる。

三角関数の合成

$$a = r \cos \alpha,\quad b = r \sin \alpha$$とおくと、$$a \cos \theta + b \sin \theta = r \cos \alpha \cos \theta + r \sin \alpha \sin \theta \\ = r(\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta) = r \cos(\theta - \alpha)$$となる。
オイラーの公式を用いると、 $$a \cos \theta + b \sin \theta = a \frac{e^{j \theta} + e^{-j \theta}}{2} + b \frac{e^{j \theta} - e^{-j \theta}}{2j} \\
= \frac{(a - jb)e^{j \theta}}{2} + \frac{(a + jb)e^{-j \theta}}{2}$$ここで、\(a - j b = r e^{-j\alpha}\)とおくと、\(a + j b = r e^{j \alpha}\)となり、$$a \cos \theta + b \sin \theta = \frac{re^{-j \alpha} e^{j \theta}}{2} + \frac{re^{j \alpha} e^{- j\theta}}{2} \\ = \frac{r}{2}\left(e^{j(\theta - \alpha)} + e^{-j(\theta - \alpha)} \right) \\ = r \cos(\theta - \alpha)$$また、\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)なので、$$a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \alpha)$$となる。ここで、\(\alpha\)は、\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)を満たす角なので、\(\alpha = \arctan \frac{b}{a}\)となる。以上より、$$a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \arctan \frac{b}{a})$$である。