8-2. エネルギーとハミルトニアン

ハミルトニアンは、「物理系のエネルギーを表し、運動を決定する最も基本的な関数」であり、解析力学から量子力学・統計力学に至るまで幅広く適用される概念である。

エネルギー

エネルギーとは、物理系が持つ 運動の能力を表す量 であり、一般に以下の2種類に分けられる。
１） 運動エネルギー
物体が持つ運動に関連するエネルギーは、 $$T = \frac{1}{2} m v^2$$ である。
一般化座標$q$を用いると、 $$T = \frac{1}{2} m \dot{q}^2$$ と表せる。
２） ポテンシャルエネルギー
力学的な位置エネルギーは、$U(q)$と表す。
ポテンシャルエネルギーの例として、 $$U = \frac{1}{2} k q^2 \;\;\text{バネ力（フックの法則）}$$ $$U=mgh \;\; \text{重力場}$$ がある。（この他、電気ポテンシャルエネルギー、化学ポテンシャルエネルギーなどがある。）

ハミルトニアン

ハミルトニアンは、エネルギーと関連する関数として式(1)で定義される。ハミルトニアン は、系の状態を座標 $q_i$ と運動量 $p_i$を使って表す関数で、力学系の全エネルギー を表す。

ハミルトニアンの定義を式(1)に示す。 $$H(q_i, p_i, t) = \sum_i \dot{q_i} p_i - L(q_i, \dot{q_i}, t) \;\;\; \cdots (1)$$ ここで、$H$（ハミルトニアン）は系のエネルギーに対応する関数、$L$（ラグランジアン）は$L = T - U$（運動エネルギー とポテンシャルエネルギーの差）、$q_i$​（一般化座標）は座標変数、$\dot{q_i}$は一般化速度、である。
また、 $$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$$ は一般化運動量である。

ハミルトニアンは 力学的エネルギー（運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー）と一致する場合が多い。ただし、これはラグランジアンが 速度に関して2次形式 であり、時間に陽に依存しない場合に限る。
ラグランジアンは、運動エネルギー $T$と ポテンシャルエネルギー$U$の差で、$L = T - U$で、ハミルトニアンは、 $$H = \sum_i \dot{q_i} p_i - L$$ である。ここで、運動エネルギー$T$は、 $$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{q_i}^2$$ である。ポテンシャルエネルギー $U$は速度に依存しないと仮定し（典型的な保存力の場合）、一般化運動量 を計算すると、 $$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$$ 運動エネルギーは速度の2次形式なので、 $$p_i = m_i \dot{q_i}$$ となる。これをハミルトニアンの定義 に代入する。$\dot{q_i} p_i$​を計算すると $$\dot{q_i} p_i = \dot{q_i}(m_i \dot{q_i}) = m_i \dot{q_i}^2$$ となる。よって、ハミルトニアンは、 $$H = \sum_i m_i \dot{q_i}^2 - (T - U)$$ ここで、運動エネルギー$T$は、$T = \frac{1}{2} \sum_i m_i \dot{q_i}^2$なので、 $$H = 2T - (T - U)=T+U$$ が得られる。以上より、ハミルトニアンは全エネルギー（運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー） になることが分かる。

・ハミルトニアンの具体例
１次元の質点の運動を考える。運動エネルギーは、 $$T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$$ であり、ポテンシャルエネルギーは、$U(x)$とする。このとき、ラグランジアンは、 $$L = T - U = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - U(x)$$ であり、一般化運動量は、 $$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}$$ である。ハミルトニアンは、 $$H = \dot{x} p - L = \dot{x}(m \dot{x}) - \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - U(x) \right)$$ で、整理すると $$H = \frac{p^2}{2m} + U(x)$$ となる。これは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和になっている。

ハミルトンの運動方程式

ハミルトンの運動方程式は、古典力学における運動方程式の一種であり、ラグランジュ形式の力学をさらに発展させたものである。ハミルトン形式では、系の状態を一般化座標と一般化運動量$(q,p)$という2つの変数で記述し、ハミルトニアンという関数を用いて運動方程式を表す。ハミルトニアンを用いると、式(2)に示すハミルトンの運動方程式 が得られる。 $$\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \;\;\; \cdots (2)$$ 式(2)の2つの式は、ラグランジュ方程式と同じ運動を記述しているが、$(q, p)$の 正準変数 を使うことで、より対称的な形式となる。

式(2)の第1式 $$\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ の左辺は位置の時間変化を、右辺は運動量に関する勾配となっており、運動量と速度の関係を表している。例えば、自由粒子の場合であれば、 $$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} = v$$ となる。
式(2)の第2式 $$\frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$ の左辺は、運動量の時間変化（すなわち力）を、右辺は位置に関する勾配となっており、これは実質的にニュートンの運動方程式そのもので $$\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial q} = F$$ である。
つまり、ハミルトン方程式は「運動量と位置の連動」をエネルギー関数から直接計算する枠組みとなっている。