9-1. 可制御性、可観測性（演習）

離散時間システムの可制御、可観測条件

連続時間システムの状態方程式が、 $$\frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$$ のとき、これを離散時間システムにしたとき、可制御、可観測となるための条件を求める。

$$F = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} , \;\;\;\;\;\; g = \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}$$ なので、サンプリング時間を$T$として、$A = e^{FT}$ である。 ここで、 $$e^{Ft} = \mathcal{L}^{-1} [(sI - F)^{-1}] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 +1} \begin{bmatrix} s & 1 \\ -1 & s \end{bmatrix} \right] = \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$$ なので、$t=T$として、 $$A = e^{FT} = \begin{bmatrix} \cos T & \sin T \\ -\sin T & \cos T \end{bmatrix}$$ となる。また、 $$b=\int_0^T e^{F \tau} d \tau \cdot g = \begin{bmatrix} 1 - \cos T \\ \sin T \end{bmatrix}$$ 従って、離散時間システムの状態方程式は、 $$x(k+1) = \begin{bmatrix} \cos T & \sin T \\ -\sin T & \cos T \end{bmatrix} x(k) + \begin{bmatrix} 1 - \cos T \\ \sin T \end{bmatrix} u(k) \\ y(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(k)$$ となる。このシステムの可制御行列は、 $$W = [b, \; Ab] = \begin{bmatrix} 1 - \cos T & 1 + \cos T - 2 \cos^2 T \\ \sin T & (2 \cos T-1) \sin T \end{bmatrix}$$ であり、 $$\left| W \right | = (1 - \cos T)(2 \cos T -1) \sin T - \sin T (1 + \cos T - 2 \cos^2 T) = 2\sin T( \cos T -1)$$ となる。$|W| \neq 0$が可制御条件であるが、 $$T = 2 n \pi \;\;\;\; (n = 0 , 1 , 2 , \cdots)$$ のとき$|W| = 0$となる。従って、サンプリング時間$T$が$T \neq 2 n \pi$のとき可制御となる。
同様に、可観測行列は $$V = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos T & \sin T \end{bmatrix}$$ であり、 $$\left|V \right| = \sin T$$ となる。$|V| \neq 0$が可観測条件であるが、 $$T = 2 n \pi \;\;\;\; (n = 0 , 1 , 2 , \cdots)$$ のとき$|V|=0$となる。従って、サンプリング時間$T$が$T \neq 2 n \pi$のとき可観測となる。

Scilabによる離散時間システムの可制御、可観測のチェック

パルス伝達関数の可制御、可観測の条件

パルス伝達関数が、 $$G(z) = \frac{b_1 z + b_2}{z^2 + a_1 z + a_2}$$ のシステムの可制御条件、可観測条件を求める。

パルス伝達関数$G(z)$から、可制御正準形を求める。 $$G(z) =\frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_1 z + b_2}{z^2 + a_1 z + a_2} = \frac{b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$$ なので、 $$Y(z) = (b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})X(z) \\ X(z) = \frac{1}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} U(z)$$ さらに、 $$(1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}) X(z) = U(z) \\ X(z) = U(z) - ( a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}) X(z)$$ 逆Z変換すると、 $$y(k) = b_1 x(k-1) + b_2 x(k-2) \\ x(k) = u(k) - a_1 x(k-1) - a_2 x(k-2)$$ となる。ここで、$x_1(k) = x(k-2) ,\;\;\; x_2(k) = x(k-1)$とおくと、 $$x_1(k+1) = x(k-1) = x_2(k) \\ x_2(k+1) = x(k)$$ なので、 $$\begin{bmatrix} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_2 & -a_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} u(k) \\ y(k) = \begin{bmatrix} b_2 & b_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix}$$ の可制御正準形で表せる。システム行列$A$と出力行列$c$は、 $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}, \;\;\;\; c = \begin{bmatrix} b_2 & b_1 \end{bmatrix}$$ なので、 可観測行列は、 $$V = \begin{bmatrix} c \\ cA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_2 & b_1 \\ -a_2 b_1 & b_2 - a_1 b_1 \end{bmatrix}$$ となる。これより、可観測条件は、 $$|V| = b_2(b_2 - a_1 b_1) + a_2 b_1^2 \neq 0$$ となることである。
一方、 $$(z^2 + a_1 z + a_2) Y(z) =(b_1 z + b_2) U(z) ,\;\;\;\; (1 + a_1 z^{-1} + a_2 ^{-2}) Y(z) = (b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})U(z)$$ より、 $$Y(z) = (b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2})U(z) - (a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2})Y(z)$$ と表せる。逆Z変換すると、 $$y(k) = b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2) - a_1 y(k-1) - a_2 y(k-2)$$ となる。ここで、$x_2(k) = y(k)$とおくと、 $$x_2(k) = b_1 u(k-1) - a_1 x_2(k-1) + b2 u(k-2) -a_2 x_2(k-2) , \;\;\; x_2(k+1) =b_1 u(k) - a_1 x_2(k) +b_2 u(k-1) - a_2 x_2(k-1)$$ となり、さらに、$x_1(k) = -a_2 x_2(k-1) +b_2 u(k-1)$とおくと、 $$\begin{bmatrix} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - a_2 \\ 1 & - a_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_2 \\ b_1 \end{bmatrix} u(k) \\ y(k) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix}$$ の可観測正準形で表せる。システム行列$A$と入力行列$b$は、 $$A = \begin{bmatrix} 0 & - a_2 \\ 1 & - a_1 \end{bmatrix} , \;\;\; b= \begin{bmatrix} b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}$$ なので、可制御行列は、 $$W = \begin{bmatrix} b & Ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_2 & -a_2b_1 \\ b_1 & b_2 - a_1 b_1 \end{bmatrix}$$ となる。これより、可制御条件は、 $$|W| = b_2(b_2 - a_1 b_1) + a_2 b_1^2 \neq 0$$ となることである。これは可観測条件と一致している。
$G(z)$の極は、 $$p = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2}}{2}$$ であり、零点は、 $$z = -\frac{b_2}{b_1}$$ である。極零点が等しい場合、 $$\frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2}}{2} = -\frac{b_2}{b_1}$$ なので、$b_2^2 + a_2 b_1^2 - a_1 b_1 b_2 = 0$となり、これは、不可制御不可観測の条件と一致している。つまり、可制御可観測の条件は、伝達関数の極零相殺が起こらないことと等価といえる。