2. 行列式（線形代数）

行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。つまり、行列式は、行列がどれくらい空間を「引き伸ばしたり縮めたりしているか」を表す指標と言える。

行列式とは

$nn$の正方行列 $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ について、どの行、どの列からもきっちり１つずつ選んだ$A$の成分$n$個の積を$A$の基本積と呼ぶ。

［例］ $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$ の基本積は、どの行、どの列からも１つずつ選んだ$A$の成分3個の積なので、 $$a_{11} a_{22} a_{33} \;\;\;\;\; a_{12} a_{21} a_{33} \;\;\;\;\; a_{13} a_{21} a_{32} \\ a_{11} a_{23} a_{32} \;\;\;\;\; a_{12} a_{23} a_{31} \;\;\;\;\; a_{13} a_{22} a_{31}$$ となる。
$n/n$の正方行列は、一般に$n!$個の基本積を持つ。基本積は、$a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}$ と表せる。ただし、$j_1, j_2, \cdots , j_n$は集合$\{1,2, \cdots, n \}$の順列を示し、順列すべてを動くとする。さらに、基本積に$+$または、$-$の符号を付けたものを$A$の符号付基本積という。符号は、$j_1, j_2, \cdots , j_n$が偶順列のときは$+$、奇順列のときは$-$を付けるものとする。
※順列$j_1, j_2, \cdots , j_n$において、ある自然数がそれよりも小さな自然数より先に出現するとき、追い越しが起きているといい、追い越しの発生している合計数を追い越し数とよぶ。また、追い越し数が偶数の順列を偶順列、奇数の順列を奇順列とよぶ。

［例］ $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$ の符号付基本積は以下の表のようになる。

基本積	列番号の順列	偶奇	符号付基本積
$a_{11}a_{22}a_{33}$	$(1,2,3)$	偶	$+a_{11}a_{22}a_{33}$
$a_{11}a_{23}a_{32}$	$(1,3,2)$	奇	$-a_{11}a_{23}a_{32}$
$a_{12}a_{21}a_{33}$	$(2,1,3)$	奇	$-a_{12}a_{21}a_{33}$
$a_{12}a_{23}a_{31}$	$(2,3,1)$	偶	$+a_{12}a_{23}a_{31}$
$a_{13}a_{21}a_{32}$	$(3,1,2)$	偶	$+a_{13}a_{21}a_{32}$
$a_{13}a_{22}a_{31}$	$(3,2,1)$	奇	$-a_{13}a_{22}a_{31}$

$$det\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\right) \\ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}$$ となる。
定義から直接行列式を計算する場合、サイズ$4/4$行列の場合ですら$4!=24$個の基本積とその符号の決定が必要となり、面倒である。

行列式の基本定理

行列$A$の対角線より下の成分がすべて$0$であるような正方行列を上３角行列とよび、同様に対角線より上の成分がすべて$0$であるような正方行列を下３角行列とよぶ。

［例］ $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} \\ det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}$$ となる。これは、$0$にならない基本積を考えれば明らかである。

［例］ $$A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \;\;\;\;\; det(A) = -2$$ において、
(a) $A$の第１行を４倍した行列は、$A_1 = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$であり、
$det(A_1) = - 8 = 4det(A)$である。
(b) $A$の第１行と第２行を交換した行列は、$A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$であり、
$det(A_2) = 2 = -det(A)$である。
(c) $A$の第３行を$-2$倍して第２行に加えた行列は、$A_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$であり、
$det(A_3) = -2 = det(A)$である。

行列式関数の性質

［例］ $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \;\;\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$$ のとき、 $$AB = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{bmatrix}$$ である。 $$det(AB) = (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21})(a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} ) - (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22})(a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} ) \\ = (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21} ) \\ = det(A) det(B)$$ となる。

余因子展開

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$ において、 $$det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} \\ = a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{21} (a_{13} a_{32} - a_{12} a_{33}) + a_{31} (a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22}) \\ = a_{11} C_{11} + a_{21} C_{21} + a_{31} C_{31}$$ と書き表せる。これより、$A$の行列式の計算法として、$A$の第１列の成分と、その成分の余因子をかけ合わせたものを合計する方法が考えられ、この方法を$A$の第１列による余因子展開とよぶ。