19. 抵抗・インピーダンスの測定(1)

近年では、図１に示すような、高精度のディジタル抵抗計（高確度：0.1 mΩを0.16 %、分解能：0.01 μΩ）がある。従って、実際の抵抗測定では、簡易的にはテスター（ディジタルマルチメータ）、高精度が必要な場合にはディジタル抵抗計を使用するのが妥当である。しかし、測定の原理を知っておくことは重要なので、以下にまとめる。

中位抵抗の測定

電圧降下法

この方法は、測定対象の抵抗における電圧（電圧降下）$V$と電流$I$を測定し、オームの法則から抵抗$R$を間接計測する方法で、電圧降下法という。

ホイートストンブリッジ法

ホイートストンブリッジ法は、零位法の典型的な測定法である。図３のホイートストンブリッジにおいて、$R_p,\;R_q,\;R_r$を既知の抵抗器とする。また、$R_x$を測定対象の抵抗とする。検流器$G$に電流が流れないように、つまり平衡点となるように、$R_p,\;R_q,\;R_r$の抵抗器を調整する。平衡点では、

$$R_p I_1 = R_q I_2 ,\;\;\;\;\;R_r I_1 = R_x I_2$$ となるので、 $$R_x = \frac{R_q}{R_p} R_r$$ が求まる。

低抵抗の測定

数$m\Omega$～数$\Omega$程度の低抵抗を測定する場合は、導線抵抗、接触抵抗、熱起電力、抵抗の温度特性などを考慮する必要がある。

検流計$G$の振れがゼロになるように各可変抵抗$P,\;Q,\;p,\;q$を調整する。このとき、c-d間の電位差はゼロなので、c, dは同電位である。従って、a-c間の電圧降下とa-b-d間の電圧降下は等しいので、

$$P I_1 = Rx I_2 + p I_3\; \cdots(1)$$ である。また、c-f間の電圧降下とd-e-f間の電圧降下は等しいので、 $$Q I_1 = q I_3 + R_s I_2\; \cdots(2)$$ である。電流$I_3$は分流則により、 $$I_3 = \frac{r}{p + q+ r} I_2 \; \cdots(3)$$ となる。式(3)を式(1)、式(2)に代入して、整理すると $$P I_1 = I_2 \left(R_x + \frac{p r}{p + q + r} \right) \; \cdots(4) \\ Q I_1 = I_2 \left( R_s + \frac{q r}{p + q + r}\right) \; \cdots(5)$$ となる。式(4)、式(5)の比をとると、 $$\frac{P}{Q} = \frac{R_x + \frac{p r}{p + q + r}}{R_s + \frac{q r}{p + q + r}} \\R_x + \frac{p r}{p + q + r} = \frac{P}{Q}\left(R_s + \frac{q r}{p + q + r}\right)$$ よって、 $$R_x = \frac{P}{Q} \left(R_s + \frac{q r}{p + q + r}\right) - \frac{p r}{p + q + r} = \frac{P}{Q} R_s + \frac{q r}{p + q + r}\left(\frac{P}{Q} - \frac{p}{q}\right)$$ である。ここで、$\frac{P}{Q} = \frac{p}{q}$のように$P,\;Q,\;p,\;q$は連動して変化する構造なので、$\frac{P}{Q} - \frac{p}{q} = 0$となり、測定対象の$R_x$は、 $$R_x =\frac{P}{Q} R_s \; \cdots(6)$$ と求まる。
測定する未知抵抗の値が数$\Omega$以下の抵抗測定の場合、普通は無視できる接続端子の接触抵抗やリード線の抵抗が未知抵抗に対して大きな割合を占めることになり、これが誤差となって正確な測定ができない。ダブルブリッジでは図５のように、測定対象$R_x$の接続は四端子構造にしてある。図５の回路において、P1 点、P2点のリード線抵抗と端子での接触抵抗 は、それぞれ抵抗$P,\;p$ に含まれる。ダブルブリッジは抵抗の比、 $\frac{P}{Q}$ や$\frac{p}{q}$ が測定に関係するのであって、$P,\;Q,\;p,\;q$ の各抵抗値はある程度自由 に選択できる。従って、$P,\;p$を比較的大きな抵抗値にしておけば、この中に含まれるリー ド線の抵抗や、端子の接触抵抗はほとんど無視できる。また、b-C2間のリード線抵抗は図に示す$r$ の部分に含まれることになるが、ダブ ルブリッジでは、比例辺が$\frac{P}{Q},\;\frac{p}{q}$ の二つあり、常に$\frac{P}{Q} = \frac{p}{q}$ になる構造にしてある。したがって、$R_x$を求める式(6)からわかるように$r$は計算上消去されて、測定値には関係しないので、$r$ にリード線抵抗が入っても問題ない。なお、C1-a 間のリード線抵抗は電源回路に入ってしまうので、誤差に関係しない。

また、薄膜の厚さ$\delta$が$l$に対して十分大きい場合（$\delta \gg l$）、導電率$\sigma$は 、

$$\sigma = \frac{I}{2 \pi l V}$$ と近似できる。なお、四端子測定は電極の接触抵抗の影響は受け難いが、良好な計測を得るには、金属探針と半導体との接触抵抗を十分減らす工夫は必要である。

高抵抗の測定

数百$k\Omega$～数百$M\Omega$程度の高抵抗を測定する場合、十分な感度を得るために高電圧をかけて電流を流すことになる。従って、電源電圧の高電圧の取り扱いに注意する必要がある。また、測定対象以外に流れる漏洩電流（リーク電流）にも対策が必要である。

主電極の外径を$D_1$ 、ガード電極の内径を$D_2$とすれば、この2つの電極間の隙間が主電極の半径より十分狭い場合、体積抵抗率は、

$$\rho_v = R_v \frac{ \pi D_1^2}{4 t}$$ となる。ここで、 $\left(\frac {D_2 - D_1}{2} \ll \frac{D_1}{2}\right)$のとき、電流密度が一様な主電極の面積は$S = \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2$とする。
しかし、実際に使用する場合は、「主電極とガード電極間の距離」と「主電極の半径」が理想的な設定にはならないので、補正が必要である。
※詳細は、「絶縁抵抗測定の手引き（日置電機㈱）」を参照願います。

図１０に電池式絶縁抵抗計を示す。絶縁抵抗計の基本構造は、直流電流源と電流計、電流保護素子から成る。LINE端子（L端子）とEARTH端子（E端子）との間に測定対象を接続する。E端子は、直流電源の＋（正極）に、L端子はー（負極）に接続するため、測定電流はE端子から測定対象を通り、L端子へ流れる。測定の際には、アース測定コードを接地端子（大地）側に接続する。これは、大地に対する絶縁測定や測定対象の一端が接地されているときには、大地側に＋極を接続する方が抵抗値が小さく出る（すなわち、絶縁測定としては厳しい方向の試験となる）のが普通であり、絶縁不良の検知には最適であるとされている。
※メガテスターの実践的な使い方は、「メガテスターの使い方とモーターの絶縁測定」「絶縁抵抗の測定方法」を参照願います。

接地抵抗の測定

また、電源には交流を使用する。これは、接地電極を埋設する表層付近の土壌は腐食有機物の混入などのため､電解質的な特性を持ち､直流電流を流すと分極作用のため､時間とともに電流が流れ難くなり大きな誤差を生じるためである。なお、使用する交流電源の周波数は電源からの誘導の影響を分離するため､商用周波数以外のものを使用する。但し、高い周波数だとリード線のインダクタンスや静電容量の影響を受けるため、一般的には、$1\;kHz$以下が採用される。
接地極A地点の接地抵抗$R_x$は、A-B間の抵抗を$r_a$、B-C間の抵抗を$r_b$、C-A間の抵抗を$r_c$、接地極Bの地点の接地抵抗を$R_B$、接地極Cの地点の接地抵抗を$R_C$とすると、

$$r_a = R_x + R_B ,\;\;\;\; r_b = R_B + R_C ,\;\;\;\; r_c = R_C + R_x$$ なので、これらの式から$R_x$を求めると、 $$R_x = \frac{r_a - r_b + r_c}{2}$$ となる。